Приведем формулу интегрирования по частям. Если 
и 
дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям:
.png){kind=small}
.
Интеграл в левой части очень похож на интеграл в правой части. Возникает вопрос: зачем менять шило на мыло? Так вот, в некоторых случаях, мы переходим к более простому интегралу. Основных таких случаев два.
Если интеграл имеет вид 
, где 
- многочлен, а 
трансцендентная функция, то есть 
, то следует принять 
. При этом формулу интегрирования по частям следует применить 
раз, где степень многочлена .
Пример 1 Найти неопределенный интеграл
. Здесь степень многочлена
равна
. Применяем формулу интегрирования по частям два раза.
.
Для интеграла вида .png){kind=small}
, где есть арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс или логарифм следует принять 
с тем, чтобы эту обратную функцию продифференцировать. Ведь у нас нет табличных интегралов с этими функциями.
Пример 2 Найти неопределенный интеграл
. Имеем:
.
Пример 3 Найти неопределенный интеграл
. Имеем:
Находим отдельно
.
Таким образом, исходный интеграл равен:
.
Пример 4 Найти интеграл:
. Этот интеграл как будто бы не подпадает ни под первый случай, ни под второй. Обозначим его через
и проинтегрируем по частям:
Последний интеграл – табличный, выражаем
В заключении покажем как находится пара циклических интегралов.
Пример 5 Найти интегралы
и
.
Берем первый и второй интегралы по частям:
.
Мы получили систему алгебраических уравнений относительно 
и 
. Из этой системы находим оба интеграла:
.png)
.png)
.png)
.png)
.png)
.png)
.png)
