Суммирование рядов

В некоторых случаях требуется, кроме исследования на сходимость, найти сумму ряда. Здесь имеются некоторые приемы. Во-первых, мы знаем сумму сходящегося ряда геометрической прогрессии:

В некоторых случаях, преобразуют сами члены ряда. 

Пример 1. Найти сумму ряда: . 

Во-первых, отметим, что ряд сходится, так как его мажорирует сходящийся обобщенно гармонический ряд  . А теперь воспользуемся легко проверяемым равенством: , и рассмотрим частичную сумму ряда:

 . 

Отсюда, сумма ряда .

Этот прием можно записать формально так: если , то 

,

где  . Этот предел должен существовать, если ряд  сходится. В частности, если общий член ряда  равен , где числа  образуют арифметическую прогрессию со знаменателем , то легко проверить, что  . Действительно,   

Пример 2. Найти сумму ряда: .

Применим описанный выше прием. Для нашего ряда , это разность прогрессии; , . В результате получаем: 

При нахождении суммы ряда иногда используют почленное дифференцирование и интегрирование. Поясним метод на примере. 

Пример 3. Найти сумму ряда: для .

Мы знаем, что внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать. Интервал сходимости от этого не меняется. Может измениться только сходимость на концах. Продифференцируем этот ряд почленно:  для .

Теперь восстановим исходную сумму интегрированием:

Константу  найдем из условия, что . Отсюда  и окончательный ответ ,поскольку .

В некоторых случаях используют метод Абеля: если ряд  сходится, то  .

Этот метод является следствием второй теоремы Абеля из курса теории функций комплексной переменной. Продемонстрируем этот метод на примере:

Пример 4. Найти сумму ряда .

Рассмотрим степенной ряд  и найдем его сумму. Радиус сходимости этого ряда равен ,а при   получаем исходный числовой ряд. Чтобы найти сумму степенного ряда продифференцируем его:  

Теперь восстановим исходное значение  интегрированием: .

Здесь мы не заморачивались интегрированием рациональной дроби, а значение интеграла просто взяли в справочнике. Осталось найти константу . Степенной ряд при  равен . Поэтому: .

Отсюда . Теперь, согласно методу (теореме) Абеля: .

Иногда требуется найти сумму тригонометрического ряда  или . В этой ситуации полезно бывает рассмотреть комплексный ряд  или и, просуммировав его, взять соответственно действительную или мнимую часть полученной суммы.

Пример 5. Найти сумму ряда .

Как рекомендуется, рассмотрим ряд . Этот ряд сходится для всех действительных значений . По формуле Эйлера   будем иметь . Найдем сумму комплексного ряда. Исходя из результата примера 3:  

Нам остается взять мнимую часть полученного выражения, используя определение комплексного логарифма: где   

Мы берем главную ветвь логарифма, то есть при , и тогда .

Формула справедлива для всех . При  сумма ряда равна .Здесь мы воспользовались нечетностью функции , а также формулой