В математическом анализе известно, что 
.
Для комплексных чисел 
экспонента или экспоненциальная функция определяется точно так же: 
При этом ряд будет сходиться для всех из комплексной плоскости.
Из математического анализа для действительных чисел известны разложения в ряды тригонометрических функций:
Меняя в определении экспоненты на 
, а так же учитывая, что 
получим формулу Эйлера:
.png)
.
Для произвольных комплексных чисел непосредственным перемножением рядов можно показать, что 
.
В силу этого равенства, а также формулы Эйлера, мы получаем следующее определение экспоненциальной функции: 
.
Согласно определению получили 
, а 
Пример 1
Найти
. Запишем число согласно определению экспоненты:
Отметим важное свойство функции
:
.
То есть функция
имеет период
.
Из формулы Эйлера легко получаются формулы, выражающие тригонометрические функции через экспоненту:
.
Также введем гиперболические функции: гиперболический косинус
и гиперболический синус
:
.
Из определения тригонометрических и гиперболических функций запишем связь между ними:
.
Пример 2
Найти
и
. Используя связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями находим:
Пример 3
Доказать, что
.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
справедливом на всей комплексной плоскости и связью между гиперболическими и тригонометрическими функциями.
Имеем:
.
