Показательная функция с комплексным показателем

В математическом анализе известно, что  .

Для комплексных чисел   экспонента или экспоненциальная функция определяется точно так же: 

При этом ряд будет сходиться для всех  из комплексной плоскости.

Из математического анализа для действительных чисел известны разложения в ряды тригонометрических функций:

  Меняя в определении экспоненты  на  , а так же учитывая, что  получим формулу Эйлера:

                                                                              .

Для произвольных комплексных чисел непосредственным перемножением рядов можно показать, что  .

В силу этого равенства, а также формулы Эйлера, мы получаем следующее определение экспоненциальной функции: .

Согласно определению получили , а   

Пример 1 

Найти . Запишем число согласно определению экспоненты: Отметим важное свойство функции :

.

То есть функция  имеет период .

Из формулы Эйлера легко получаются формулы, выражающие тригонометрические функции через экспоненту:

.

Также введем гиперболические функции: гиперболический косинус  и гиперболический синус :

.

Из определения тригонометрических и гиперболических функций запишем связь между ними:

.

Пример 2 

Найти  и . Используя связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями находим:

Пример 3 

Доказать, что .

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:  справедливом на всей комплексной плоскости и связью между гиперболическими и тригонометрическими функциями.

Имеем: .