Пусть комплексное число задано в алгебраической форме 
. Найдем модуль и аргумент этого числа. По определению модуль 
; аргумент 
равен 
. Прежде чем ввести определение показательной формы комплексного числа , введем тригонометрическую форму записи числа . Как следует из рисунка
. Это тригонометрическая форма записи числа . Если мы применим формулу Эйлера
,
то получим показательную форму записи комплексного числа:
.
В некоторых случаях удобно применять именно показательную форму записи комплексных чисел.
Например, при умножении или делении удобно применять именно показательную форму записи.
Умножение для комплексных чисел в показательной форме: пусть эти числа 
и 
. Тогда их произведение 
. Правило читается так: чтобы перемножить два комплексных числа, нужно перемножить их модули, а аргументы сложить.
Деление этих чисел будет происходить по формуле: 
. Здесь правило формулируется так: у частного двух комплексных чисел модуль равен частному модулей этих чисел, а аргумент - разности аргументов.
Пример 1 Найти произведение
и частное
комплексных чисел
и
. Оба комплексных числа заданы в показательной форме. Используем приведенные выше формулы:
;
.
Пример 2 Перевести данные комплексные числа
и
в показательную форму и найти их произведение
Переведем данные числа в показательную форму:
;
;
.
;
;
.
Находим произведение:
;
и частное:
Формула возведения в целую степень комплексного числа, заданного в показательной форме, так же выглядит удобной для вычислений: 
. В этой формуле 
- целое.
Пример 3 Вычислить
и записать ответ в алгебраической форме.
Для удобства вычислений представим число
в показательной форме:
;
.
Теперь используем формулу для возведения в степень:
.
