Подставляем данные:
В статье будут рассмотрены тригонометрические формулы. Удобно иметь в одном месте нужную информацию. Здесь представлены необходимая информация, которая потребуется при решении задач по заявленной теме.
Равенства из статьи удобно расположены по разделам, можно сохранить выражения в виде картинок на компьютер или в смартфон. Запомнить их непросто, поэтому ученики и студенты нередко на занятиях по математике, физике пользуются распечаткой. Рассмотрев равенства поближе, вы поймете, что одна вытекает из другой. Заметите закономерности.
Определение №1 Тригонометрия – область математики, в которой изучаются свойства и применение тригонометрических функций. Область применения науки обширна: медицина, астрономия, строительство, биология, землеизмерение.
Заметка №1 Впервые слово «тригонометрия» встречается в работах немецкого математика Питискуса в 16 веке. Слово образуется от 2-х греческих слов: треугольник, мера. Другими словами, этот раздел представляет собой область, занимающуюся измерениями треугольников.
Синус, косинус, тангенс, котангенс связаны между собой большим количеством соотношений. Ниже представлены математические законы, позволяющие решать стандартные задачи в алгебре.
Любой угол отличный от 0 до 90 градусов есть возможность трансформировать с помощью математических равенств в острый.
Значения для основных градусных мер, используемых при решении математических задач чаще всего сводятся в специальные таблицы. Если они представлены величинами, отсутствующими в таблицах, можно рассчитать значение с помощью тождеств выше.
Если величина необязательно нужна в виде дроби, то точные значения, до четырех знаков после запятой, можно найти в таблице Брадиса.
Заметка №2 Таблицы Брадиса – книга, собирающая около 20 таблиц с готовыми рассчитанными значениями. Данные позволяют сократить расчеты до минимума. Впервые книга была опубликова на в 1921 году.в советское время пособие Брадиса было бестселлером и переиздавалось на сегодняшний день более 20 раз.
Это основное правило в тригонометрии. Оно показывает взаимосвязь между синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом. В учебниках нередко его прописывают, как «тождество Пифагора», поскольку в основе выражения лежит теорема Пифагора. Зная значение одной из математических функций, есть возможность найти неизвестный показатель. Так, зная косинус, можно найти для него синус.
Заметка №3 Если угол находится в первой четверти окружности, то знак cos и sin положительный. Если же угол во второй, то cos имеет знак минус.
Если угол в третьей четвери, то и сos, и синус отрицательны. В четвертой четверти синус со знаком «минус», а сos со знаком «плюс».
Из выражения sin и cos вытекают выражения с tg и ctg. Для этого каждая часть делится на
В результате получаем:
Заметка №4 Верны при значениях, которые не принадлежат
Заметка №5 Верно для всех значений кроме радиан π * z
Определения математических функций показывают взаимосвязь между cинусом, косинусом, котангенсом, тангенсом с помощью:
Взаимосвязь между тангенсом и котангенсом выражается следующим правилом:
Заметка №6 Радиана не должна быть равна
функция при таком значении не будет определена.
Основные формулы используются достаточно часто, поэтому их для высокой скорости решения лучше запомнить.
Условия задачи:
Нужно найти cos, tg, ctg при sin α = 6/7.
Решение:
1 шаг. Выражаем сos из основного тождества:
Теперь можем найти тангенс:
Котангенс определим следующим образом:
.jpg)
Выделяют выражения для кратных углов: двойных, тройных, половинных.
Угол функции представляется в виде 2n. n- натуральное число, в равенстве оно записывается без скобок, однако это не строгое условие.
Рассмотрим пример, чтобы убедиться в справедливости равенств. Допустим у нас α= 45◦
Верно, косинус 90 градусов равняется 0.
Следствием математических правил двойного угла является выражение половинного. Величины рассчитываются с помощью показателей целой градусной меры. Математические правила представлены ниже:
Важно при расчетах косинуса, синуса значения могут принимать любые значения. Для tg α≠π+2π⋅z (z – любое целое число). Для ctg условие: α≠2π⋅zα≠2π·z.
Зубрить данные равенства нет необходимости, самое главное, правильно подставлять значения.
Чаще всего при решении математических задач используются выражения для второй, третьей и четвертой степени. Выражения для синуса и косинуса выглядят они следующим образом:
Тангенс, котангенс вычисляются по выражениям, выведенным на основании определений, которые дает геометрия. Тождества выглядят следующим образом:
При расчетах неудобно пользоваться большими степенями, выражения получаются большими, громоздкими и неудобными. Равенства, снижающие степень функции, упрощают вычисления.
Выполнять вычисления намного проще с целыми числами, представленными без корней. Значение любой тригонометрической функции находят с помощью универсальной тригонометрической подстановки, которая нередко подразумевает использование равенства тангенса половинного угла.
Универсальная подстановка помогает при решении математических уравнений определенного вида, интегрировании тригонометрических функций.
Заменим tg α/2 на показатель «t». Общий вид выражений в таком случае будет таким:
Таким образом, получаем, что универсальная тригонометрическая подстановка – метод преобразования равенства, содержащий синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы к тождеству, содержащий тангенс половинного угла.
Выражения произведения получены с помощью тождеств сложения. Ниже представлены равенства умножения синусов, косинусов, синусов на косинусы.
Пример №1 Допустим, что α= 75◦ β= 15◦. Наша цель: найти произведение синусов функций.
Берем правило:
Подставляем данные:
Пример №2 Нужно найти произведение синуса 60◦, косинуса 30◦.
Для расчетов потребуется:
Подставляем величины из «дано»:
Разность, сумму тригонометрических функций в математике можно найти с помощью произведения. Разложение на множители удобно использовать при расчетах на практике.
