Формула Ньютона-Лейбница

Связь определенного интеграла и неопределенного дается формулой Ньютона-Лейбница.

Пусть функция  определена и непрерывна на отрезке  и  ее первообразная, то есть , тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница: 

Пример 1 Найти определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: .

Этот интеграл табличный. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

Свойство аддитивности определенного интеграла. Пусть  интегрируема на  и произвольная внутренняя точка промежутка. Тогда имеет место свойство аддитивности определенного интеграла:  .

Пример 2 Найти определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: .

Поскольку под интегралом стоит знак модуля, то проще всего раскрыть этот модуль, и пользуясь свойством аддитивности определенного интеграла разбить данный интеграл на два и к каждому применить формулу Ньютона-Лейбница:

    

Пример 3 Найти определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: .

Этот интеграл тоже табличный, применяем формулу Ньютона-Лейбница: 

 

На этом примере хорошо просматривается следующее: 

1. Если  - четная функция, то .
2. Если  - нечетная функция, то  .

Пример 4 Используя формулу Ньютона-Лейбница и определение интеграла через предел частичных сумм, найти следующий предел: .

Рассмотрим функцию , промежуток  и определенный интеграл . Разобьем промежуток интегрирования на  равных частей точками

и рассмотрим интегральную сумму 

 .

Тогда согласно (определенного интеграла): 

Пример 5 Найти , где .

Здесь аналитическое задание функции меняется в точке . Чтобы не искать единую первообразную для всего промежутка , мы воспользуемся аддитивностью определенного интеграла, разбив его на два интеграла точкой . Каждый из интегралов находим по формуле Ньютона-Лейбница: