Связь определенного интеграла и неопределенного дается формулой Ньютона-Лейбница.
Пусть функция .png){kind=small}
определена и непрерывна на отрезке .png){kind=small}
и .png){kind=small}
ее первообразная, то есть .png){kind=small}
, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница: .png)
Пример 1 Найти определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
.
Этот интеграл табличный. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
Свойство аддитивности определенного интеграла. Пусть
интегрируема на
произвольная внутренняя точка промежутка. Тогда имеет место свойство аддитивности определенного интеграла:
.
Пример 2 Найти определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
.
Поскольку под интегралом стоит знак модуля, то проще всего раскрыть этот модуль, и пользуясь свойством аддитивности определенного интеграла разбить данный интеграл на два и к каждому применить формулу Ньютона-Лейбница:
.png)
Пример 3 Найти определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
.
Этот интеграл тоже табличный, применяем формулу Ньютона-Лейбница:
.png)
На этом примере хорошо просматривается следующее:
- Если - четная функция, то
.
- Если - нечетная функция, то
.
Пример 4 Используя формулу Ньютона-Лейбница и определение интеграла через предел частичных сумм, найти следующий предел:
.
Рассмотрим функцию
, промежуток
и определенный интеграл
. Разобьем промежуток интегрирования на
равных частей точками
и рассмотрим интегральную сумму
.
Тогда согласно (определенного интеграла):
Пример 5 Найти
, где
.
Здесь аналитическое задание функции меняется в точке
. Чтобы не искать единую первообразную для всего промежутка
, мы воспользуемся аддитивностью определенного интеграла, разбив его на два интеграла точкой
.png)
.png)
.png)
