Мы знаем, как определялся логарифм для действительной переменной. Он определялся как обратная функция к экспоненциальной функции 
. При замене местами переменные 
и 
мы получали функцию логарифм 
. Область определения логарифма на множестве действительных чисел 
, то есть значения, которые может принимать экспоненциальная функция.
На комплексной плоскости экспоненциальная функция принимает все значения кроме 
. Поэтому, логарифм будет определен для всех значений кроме значения . Запишем
.
Отсюда 
, а 
и, поскольку аргумент определен с точностью до 
, то получаем окончательную формулу для логарифма:
.
Тем самым мы получили бесконечно-значную функцию. Функции при различных значениях 
называются ветвями логарифма. В частности, ветвь при 
: 
называется главной веткой логарифма.
Определим комплексное число в комплексной степени следующим образом:
.
Получили, что для любых 
и 
выражение 
принимает бесконечное число значений. Приведем несколько примеров.
Пример 1 Вычислить:
Пользуясь определением логарифма находим:
;
;
;
;
Пример 2 Найти все значения следующих степеней:
.
Используем определение степени, находим:
.
Эти точки всюду плотно расположены на единичной окружности.
;
;
.
