Особые точки аналитической функции

В теории функции комплексной переменной рассматриваются ряды Лорана:

.

В отличие от ряда Тейлора в ряде Лорана присутствуют отрицательные степени . Как мы знаем, ряд по положительным степеням сходится внутри круга , где  - радиус сходимости ряда . 

Ряд по отрицательным степеням  называется главной частью ряда Лорана.

Ряд по положительным степеням называется правильной или регулярной частью ряда Лорана. 

Обозначим , для главной части ряда Лорана. Мы получим ряд , то есть ряд по положительным степеням . Пусть его , то есть ряд  сходится при , откуда следует неравенство для : .

Таким образом, совокупный ряд сходится в кольце . Справедливо и обратное утверждение, называемое теоремой Лорана: 

Теорема (Лоран). Функция аналитическая в кольце единственным образом  раскладывается в ряд Лорана, причем ряд по отрицательным степеням сходится при , а ряд по положительным степеням сходится при .

Коэффициенты ряда можно находить по формуле .

Пусть функция не является дифференцируемой в точке , а в остальных точках некоторой окрестности она дифференцируема (аналитической). Такая точка называется изолированной особой точкой аналитической функции. Функцию  можно считать аналитической в кольце . По теореме Лорана эта функция раскладывается в ряд Лорана:. Согласно этому разложению, дадим следующую классификацию особых точек.

1. Если в разложении функции в ряд Лорана, главная часть отсутствует, то точка называется устранимой (или правильной) особой точкой функции .В этом случае функция становится аналитической при.
2. Если в разложении функции в ряд Лорана, главная часть содержит конечное число членов, то точка называется полюсом порядка , где порядок полюса определяется старшей степенью главной части ряда Лорана.
3. Если в разложении в ряд Лорана, в главной части имеется бесконечно много членов, то точка называется существенно особой точкой функции.

Пример 1 

Функция не определена в точке, а для остальных точек комплексной плоскости она аналитическая. Поэтому  является изолированной особой точкой функции. Поскольку разложение этой функции в точке  такое

, то главная часть отсутствует, следовательно, точка является устранимой особой точкой функции .

Пример 2 

Функция так же имеет изолированную особую точку . В окрестности этой точки функция раскладывается в ряд 

Здесь 

 Главная часть ряда Лорана содержит три члена, и старшая степень – пятая. Следовательно, является полюсом -го порядка.

Пример 3 

Функция имеет единственную особую точку на комплексной плоскости . Пользуясь стандартным разложением, найдем разложение функции в ряд в окрестности точки .

.

Здесь главная часть начинается с третьего члена и содержит бесконечно много членов. Имеем существенно особую точку.

Что касается бесконечно удаленной точки , то здесь принята следующая классификация.

Пусть в некоторой окрестности функция аналитическая. Это означает, что для , где некоторое число, функция является аналитической. Пусть в этой окрестности функция разлагается в степенной ряд. Если ряд  имеет все коэффициенты равные , то точка называется правильной точкой. Если конечное число членов ряда отлично от нуля – то точка называется полюсом. При этом порядок полюса определяется как старшая степень ряда . Если ряд  содержит бесконечно много членов отличных от нуля, то называется существенно особой точкой.

Пример 4 

У многочлена точка является полюсом порядка .

Пример 5 

У функции точка является существенно особой точкой.

Пример 6 

У функции  точка является правильной точкой.