Нахождение значения выражения

Нахождение значения выражения — база, на которой строится вся математика. Элементарные действия дети учатся делать еще в дошкольном возрасте. Постепенно задания становятся все сложнее. Если в начальных классах они преимущественно строятся на четырех простых арифметических действиях, то потом к ним добавляются действия со скобками и дробями. Когда в седьмом классе происходит деление на алгебру и геометрию, то в рамках первой дисциплины школьники изучают различные действия с корнями и степенями, в старших классах к ним присоединяются логарифмы. В рамках геометрии же изучаются действия с тригонометрическими функциями.

О каждом разделе стоит поговорить подробнее, чтобы понять, что он представляет собой.

Простейшие случаи

К простейшим математическим выражениям относятся те, что базируются на четырех простых арифметических действиях:

• сложение;
• вычитание;
• умножение;
• деление.

Самым простым примером считается: 2+2=4. Таким образом можно сделать вывод, что само по себе выражение может состоять из пары чисел и простого действия.

Еще несколько примеров:

1. 5+4=9;
2. 8-3=5;
3. 7*6=42;
4. 9/3=3;

Примеры также могут содержать несколько действий:

1. 5*2+8=18;
2. 9+7*2=23;
3. 8/2-1=3;
4. 6*7+9-11=40.

Это начальный этап математических действий, которые на базовом уровне умеют выполнять все. Далее речь пойдет о более серьезных задачах.

С корнями 

Выражения с корнями часто встречаются при решении различных алгебраических задач. Если подробно затрагивать эту тему, то в первую очередь нужно разобраться, что такое корень.

Корень n-й степени из числа a определяется как такое число x, что xn=a. Дальнейшие вычисления строятся, исходя из этой формулы. 

Таким образом, чтобы найти корень из числа в определенной степени, нужно понять, какое первоначальное значение было возведено в указанную степень. Оно и будет правильным ответом.

Однако в ряде случаев задача усложнена. Под корнем формируются целые выражения, которые также нужно решать. Для этого нужно произвести необходимые вычисления, найти итоговый результат и только потом вычислять из него корень.

Продемонстрировать теорию можно на конкретных примерах:

1. √5*2-6=√10-6=√4=2;
2. ³√15*3-9*2=³√27=3.

Стоит сразу отметить, что в первом случае указано выражение с квадратным корнем, а во втором — с кубическим. Корни в зависимости от условия задания могут стоять в любой степени.

Зачастую пример не целиком находится под корнем, а корни используются лишь в определенных его частях. Это также можно проиллюстрировать примером:

(√9+6)*(8-√4)=(3+6)*(8-2)=9*6=54.

В таких случаях нужно действовать по общим правилам. Вычислять корень из числа и выполнять дальше арифметические действия. 

Со степенями 

Примеры со степенями являются еще одним распространенным видом алгебраических выражений. В этом вопросе в первую очередь следует разобраться, что собой представляют степени.

Степень —  это значение, которое получается путем умножения числа самой на себя определенное количество раз. Так, например, 2³ равняется 8, поскольку в этом случае нужно произвести следующее арифметическое действие: 2*2*2=8.

В случае с небольшими цифрами и степенями результат можно посчитать самостоятельно. Если же перед нами крупные числа в большой степени, то в этом случае нужно пользоваться специальными таблицами.

Есть несколько видов действий со степенями:

• возведение числа в степень (42=8);
• умножение двух одинаковых цифр с разными показателями степеней. В этом случае показатели складываются, а само число остается неизменным (52*53=52+3=55=3125);
• деление двух одинаковых цифр с разными показателями. В этом случае степени вычитаются, а само число также остается неизменным (53/53=53+2=551=5).

Если же в выражении просто указаны цифры в той или иной степени, то их нужно в нее возвести, а затем продолжить действия по стандартному алгоритму:

(6²*3)+(5³-12)=(36*3)+(125-12)=108+113=221

Таким образом вычисляются подобные примеры.

С логарифмами 

Логарифмы изучаются в старших классах школы и впоследствии в профильных высших учебных заведениях. Это логарифм b  по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание  а, чтобы получить число b.

Если числовое выражение содержит логарифмы и если есть возможность избавиться от них, вычислив значение логарифмов, то это делается перед выполнением остальных действий. Например, при нахождении значения log24+2·3, логарифм log24 заменяется его значением 2, после выполняются остальные действия в обычном порядке, то есть, log24+2·3=2+2·3=2+6=8.

Можно привести и другой пример решения задания с логарифмами: log24+2⋅4=2+2⋅4=2+8=10log24+2·4=2+2·4=2+8=10. 

Зная, как работать с логарифмами, можно с легкостью получить нужный результат.

С дробями 

Дроби — это числа, состоящие из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.

Их можно поделить на две базовые разновидности: на обычные дроби и десятичные.

Обычные дроби записываются в виде двух чисел, верхнее из которых делится на нижнее.  Число перед (над) чертой называется числителем, а после черты (под чертой) — знаменателем.

Десятичные дроби записываются как целое число и его остаток после запятой. 

Есть другие виды дробей, например, двоичные, которые преимущественно используются для работы на компьютере. Но в математике обычно используются две разновидности, которые были упомянуты выше. 

Для удобства вычисления обычную дробь часто представляют в виде десятичной и производят с ней различные математические действия. Однако возможны вычисления и непосредственно обыкновенных дробей. Например:

1. (3/4)*2 = 6/4=1,5;
2. (8-2/6)*9 = (6/6)*9=1*9=9.

Есть много вариантов примеров как с одним, так и с другим вариантом дробей. 

Со скобками 

Выражения со скобками также начинаются изучаться в школе достаточно рано, эта тема есть в программе начальной школы. Впоследствии примеры со скобками будут встречаться на протяжении всего учебного процесса.

Решение таких примеры очень простое: то, что лежит в скобках, решается в первую очередь. После этого производятся остальные арифметические действия.

Чтобы продемонстрировать это, можно привести простой пример:

(2+9)*16=11*16=176.

В скобках могут быть указаны любые переменные: целые и дробные числа, числа, возведенные в степени и т.д.

С тригонометрическими функциями 

К тригонометрическим функциям относится синус, косинус, тангенс и котангенс. Выражения с ними решаются по определенным алгоритмам.

В качестве примера можно привести следующую задачу:

Найдите значение: tg24π3−sin(−5π2)+cosπtg24π3-sin-5π2+cosπ.

tg4π3=√3tg4π3=3

sin(−5π2)=−1sin-5π2=-1

cosπ=−1cosπ=-1

tg24π3−sin(−5π2)+cosπ=√32−(−1)+(−1)=3+1−1=3tg24π3-sin-5π2+cosπ=32-(-1)+(-1)=3+1-1=3.

Если знать порядок действий, аналогичным образом можно найти решения любых выражений с тригонометрическими функциями. 

Общий случай числового выражения 

Выражения могут содержать все вышеназванные элементы: скобки, корни, числа в степенях и т.д. Необходимо помнить о правилах, о которых подробно было рассказано выше, чтобы успешно решать такие задачи. Если допустить в каком-то одном случае ошибку, в том числе и элементарную арифметическую, ответ ко всему заданию будет неверным.

Если не получается найти правильное решение, пример стоит перерешать заново поэтапно; возможно, на каком-то моменте будет обнаружена ошибка.

Вычисление значений рациональными способами

Вычисление значений числовых выражений требует последовательности и аккуратности. В первую очередь стоит отметь, что нужно придерживаться последовательности выполнения действий, которые были указаны в предыдущих разделах, но не рекомендуется делать это слепо и механически. Важно подходить к каждому заданию в индивидуальном порядке. Во многих случаях процесс решения можно значительно упростить и ускорить. 

Существует ряд способов, которые помогут в решении тех или иных задач:

1. Если длинное выражение, стоящее в скобках, нужно умножить на ноль, то нет никакого смысла производить прочие действия. Конечный результат в любом случае будет равен 0.
2. Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел: если от числа отнять равное ему число, то в результате получится нуль. Это свойство можно рассматривать шире: разность двух одинаковых числовых выражений равна нулю. Например, не вычисляя значения выражений в скобках можно найти значение выражения (54*6−12*47362/3)−(54*6−12*47362/3), оно равно нулю, так как исходное выражение представляет собой разность одинаковых выражений.
3. Во многих случаях полезна группировка слагаемых и множителей и  вынесение общего множителя за скобки. Так значение выражения 53*5+53*7−53*11+5 очень легко находится после вынесения множителя 53 за скобки: 53 (5+7−11)+5=53*1+5=53+5=58. Планомерное вычисление заняло бы намного больше времени.
4. Не стоит забывать и о дробях. Следует помнить, что одинаковые множители в числителе и знаменателе дроби сокращаются. Это также в значительной степени поможет сэкономить время. 

Есть и ряд других методов, применимых к каждой ситуации в индивидуальном порядке.

Нахождение значений с переменными

Выражения с переменными — это всем известные еще со времен начальной школы уравнения. То есть примеры, где число остается неизвестным и его нужно вычислить, исходя из значений остальных.

Возьмем самый простой пример:

2+x=5;

x=5-2;

x=3

Чтобы успешно решать уравнения, нужно знать алгоритмы решения. Сложность уравнений меняется в зависимости от задачи.

В математике существует множество разнообразных выражений. Чтобы успешно их решать, необходимо владеть базовой программой, а также знать, как упростить то или иное выражение, чтобы ускорить процесс решения.