Линейные уравнения первого порядка

Пример 1 Решить линейное уравнение: 

1). Сначала решаем однородное уравнение соответствующее исходному уравнению:

Или, освобождаясь от логарифмов и от модулей, получим общее решение однородного уравнения в виде:

2). Теперь, предполагая, что ,  то есть произвольная постоянная есть функция от независимой переменной, мы подставляем общее решение в исходное уравнение: 

 

Таким образом, общее решение исходного уравнения 

Мы видим, что общее решение нашего неоднородного уравнения есть сумма общего решения  однородного уравнения соответствующего неоднородному уравнению   и частного решения неоднородного уравнения 

.

Иногда применяют следующий метод, по сути равносильный методу вариации постоянной. Продемонстрируем его на примере.

Пример 2  Решить линейное уравнение   

1). Решение будем искать в виде   то есть в виде произведения двух функций. 

Тогда исходное уравнение перепишется в виде 

Найдем сначала какое-нибудь   , чтобы выражение в скобках обратилось в  . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем: 

Берем  и   . Подставляя в уравнение относительно  и , получаем еще одно уравнение с разделяющимися переменными:

 

Следовательно, общее решение исходного уравнения 

 .

Как и в предыдущем примере, общее решение представляет собой сумму общего решения однородного уравнения  и частного решения неоднородного уравнения . 

В некоторых случаях уравнение не является линейным относительно функции , но становится линейным, если сделать замену переменных или  если поменять местами функцию и независимую переменную . Приведем пример такого уравнения.

Пример 3  Решить дифференциальное уравнение:.Сделаем в уравнении замену   и преобразуем его:

.Решим уравнение методом вариации постоянной. Сначала решаем однородное уравнение:

 Теперь считаем, что  и подставляем его в неоднородное уравнение для .

Таким образом, общее решение исходного уравнения  . Отсюда общий интеграл исходного уравнения:  .