Комплексные числа -это числа вида 
, где 
- так называемая мнимая единица.
Если действительные числа мы изображали точкой на действительной оси, то комплексные числа мы изображаем точками на комплексной плоскости. Чтобы геометрически изобразить комплексное число, введем декартову систему координат, где по оси 
(действительная ось) откладываем (вправо или влево в зависимости от знака) величину 
. По оси 
(мнимая ось) мы откладываем 
. При этом, называется действительной частью числа 
, а называется мнимой частью числа .
Над комплексными числами можно производить операции сложения и вычитания (а также умножения, деления, возведения в степень и комплексного сопряжения). Мы рассмотрим операции сложения и вычитания.
Сложение.Пусть 
и 
- два комплексных числа. Их сумма определяется так: 
. Читаем так: чтобы сложить два комплексных числа, нужно сложить их действительные и мнимые части. Приведем пример:
Пример Сложить два комплексных числа:
и
. Имеем:
.
Вычитание комплексных чисел происходит по формуле
.
Таким образом, сложение и вычитание происходит по аналогии со сложением и вычитанием векторов на плоскости.
Пример Для чисел из предыдущего примера найти
. Находим:
Изобразим на плоскости действия сложения и вычитания:
Отметим, что сложение и вычитание комплексных чисел лучше всего проводить если числа находятся в алгебраической форме.
Если это не так, то желательно привести числа к алгебраической форме, а затем действовать по правилу сложения чисел в алгебраической форме.
Пример Найти
, если
и
.
У нас
задано в алгебраической форме, а
в тригонометрической форме. Приведем второе число к алгебраической форме:
.
Теперь складываем:
Пример Даны три вершины параллелограмма
. Найти четвертую вершину.
Пусть нумерация вершин идет в порядке обхода (все равно какого – по часовой стрелке, или против). Тогда неизвестная вершина находится против вершины
может быть найдуно из формулы
и из формулы
. Приравнивая правые части последних равенств получим:
, откуда
.
