Способы решения линейных систем: способ сложения

Существуют три основных способа решения линейных систем с двумя неизвестными: графический, способ подстановки и способ сложения. Конечно, есть еще способы, но они относятся к Высшей математике.

Остановимся на способе сложения. Решая то или иное уравнение, мы, на каждом шаге, переходим к более простому уравнению равносильному исходному. Это означает, что корни у уравнений совпадают. С линейными системами ситуация аналогичная. Мы преобразовываем уравнения системы, и переходим к более простым системам. Затем, решая их, мы находим тем самым и решение исходной системы.

Как можно сделать уравнение более простым? Нужно исключить из него одно из неизвестных. Приведем пример.

Пример 1 Решить систему уравнений: .

Коэффициенты при неизвестной в уравнениях равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Поэтому при сложении отдельно правых и левых частей уравнений мы получим уравнение, у которого только одна переменная. Такая операция называется почленным сложением уравнений. Составим систему, в которую включим одно из уравнений исходной системы, например первое и уравнение полученное сложением:

Легко увидеть, что мы получили систему равносильную исходной. Находя из второго уравнения значение неизвестной , из первого уравнения, зная , находим , а с ним и единственное решение системы: 

.

Не всегда получается так легко: сложил почленно, и одна из неизвестных пропала. Если такое действие сразу не получается, то умножают левую и правую части одного или обоих уравнений на подходящие числа, чтобы коэффициенты в полученных уравнениях при каком либо неизвестном стали одинаковыми по величине, но противоположными по знаку. Далее действуем как в первом примере.

Пример 2 Решить систему уравнений: .

Умножим первое уравнение на , второе на и сложим полученные уравнения почленно; в качестве системы эквивалентной исходной запишем первое уравнение и результат сложения:

Получили единственное решение системы: .

Подведем итог и запишем алгоритм способа сложения.

1. Умножаем если нужно левую и правую части одного или обоих уравнений на подходящие числа так чтобы коэффициенты при одной из неизвестных стали одинаковыми по абсолютной величине, но противоположны по знаку.
2. Складываем почленно полученные уравнения. При этом, одна из неизвестных в полученном уравнении пропадает.
3. Решаем полученное уравнение относительно этой оставшейся неизвестной.
4. Из любого уравнения исходной системы находим значение второй неизвестной.

Пример 3 Решить систему уравнений: .

Здесь коэффициенты системы дробные. Сделаем первый шаг: избавимся от дробей.

Далее действуем по алгоритму.

1. Наименьшее общее кратное чисел и есть . Умножим первое уравнение на , второе на .
2. Сложим полученные уравнения. 
3. Находим из первого уравнения неизвестное : .
4. Из второго уравнения находим вторую неизвестную: .

Получили единственное решение системы .

Способ сложения это школьный вариант метода Гаусса решения линейных систем в высшей математике. Сама запись решения систем сильно упрощается, если мы будем писать не сами уравнения, а коэффициенты при них. Ведь у нас в уравнении на первом месте стоит (с каким-то коэффициентом), на втором , а в правой части стоит свободный член. Таким образом, наша система вполне определена своей расширенной матрицей. Если взять систему примера 2, то получается такое соответствие системы и расширенной матрицы:

.

И далее, все преобразования системы записываются как преобразования матрицы.

Получили решение системы .