Зачастую разрешение прикладных математических задач требует определения значения интеграла, однако порой не удается сделать это точно. Иногда требуется знание показателя до конкретных значений.
Фото: Neural Writer
Бывают задачи, когда достаточно вычислить приблизительное, в этом случае можно использовать численное интегрирование. В качестве метода может подойти схема Симпсона, формулы прямоугольников или трапеций. Не всегда эти правила способны дать результат, определить точный показатель интеграла.
Принцип Ньютона-Лейбница отражает взаимосвязь между процессами поиска интеграла и определения числа первообразной. Это основная и наиболее значимая схема интегрального решения. Она устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами, это позволяет быстро и просто вычислять первые.
Формула была выведена независимо Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем в период между 1665 и 1675 годами. Оба математика столкнулись с необходимостью разработки новых методов для работы с переменными величинами и их изменениями. Ньютон использовал понятие дифференциала, а Лейбниц — интеграла, что послужило основой для формулы, объединившей эти процессы.
😎 Формула
Правило справедливо для любой непрерывной функции f(x) на отрезке [а, b]. F — первообразная. Для получения значения интеграла, нужно отыскать любую первообразную, найти, чему она равна в точках a и b, а затем решить пример F(b) — F(a).
Описываемый принцип показывает нам взаимосвязь двух важнейших математических процессов: дифференцирование и интегрирование.
🤔 ОпределениеПервообразная — это своего рода обратная к производной. Функция, для которой f(x) — это производная, носит название первообразной y=f(x). Подобные функции: y=F(x)+C создают множество первообразных функции y=f(x). С — константа.
Неопределенный интеграл — это группа всех имеющихся первообразных.
Обычно он обозначается так: ∫f(x)dx. Здесь f(x) — подынтегральная функция, а показатель dx отражает, какая переменная является основой интегрирования.
Вычисление неопределенного интеграла использует производную константу С, поскольку для любой постоянной С производная константы будет равняться нулю. Данное добавление никак не влияет на производную функцию.
📖 Пример∫2xdx=x2+C,
где C —произвольная константа.
🤔 ОпределениеОпределенный интеграл — математический термин, который отражает измерение алгебраической площади под кривой функции в заданном интервале.
Процесс, когда осуществляется нахождение значения интеграла — интегрирование. Если рассматривать это понятие с точки зрения геометрии, то суть формулы в определении, чему равна площадь получившейся фигуры между прямой и кривой линиями, а также между двумя заданными точками. Обычно получившуюся фигуру определяют как трапецию с одной кривой линией.
Формула Ньютона-Лейбница является фундаментальным результатом математического анализа, который связывает определенный интеграл с первообразной функции. Формула утверждает, что если F(x) — первообразная функции f(x) на отрезке [a,b], то определенный интеграл функции f(x) на этом отрезке может быть вычислен как разность значений первообразной на концах отрезка:
Вывод формулы основан на связи между процессом дифференцирования и интегрирования. Для ее обоснования используется теорема о среднем значении для интегралов и основной теоремой анализа, которая гласит, что если F(x) — первообразная f(x), то F′(x)=f(x).
Рассмотрим интеграл функции f(x) от a до b:
Пусть F(x) — первообразная функции f(x), то есть F′(x)=f(x). Согласно основной теореме анализа, при интегрировании производной F′(x) на интервале [a,b], результат будет равен изменению функции F(x) на концах интервала:
Таким образом, интеграл функции f(x) на отрезке [a,b] равен разности значений ее первообразной на концах этого отрезка.
Формула Ньютона-Лейбница не только связывает процесс интегрирования с нахождением первообразной, но и упрощает вычисление определенных интегралов, предоставляя удобный метод для нахождения площади под кривой f(x) на заданном интервале.
