Числовые последовательности

Числовой последовательностью   назовем функцию, заданную на множестве натуральных чисел. Более коротко: последовательность есть функция натурального аргумента.

Мы будем говорить, что последовательность  задана, если для каждого  нам известна величина . Последовательности можно задавать обычным перечислением элементов в порядке возрастания их номера. 

Часто последовательности задают общим членом .

Пример 1 Найти общий член последовательности: . Мы видим, что первый член — , и каждый следующий член на 3 единицы больше предыдущего. Следовательно  — член будет на  больше первого члена, следовательно .

В школе мы встречали бесконечную геометрическую прогрессию: , которую кратко запишем через общий член . В школе рассматривалась и арифметическая прогрессия, но она состояла из конечного числа членов и в нашем понимании не является последовательностью.

Пример 2 Найти наименьший член последовательности 

Рассмотрим функцию . Это парабола, ветви вверх. Наименьшее значение достигается в вершине параболы, в точке . До этой точки функция убывает, после этой точки — возрастает. В последовательности  принимает целые числа. Поэтому наименьший член последовательности будет или при , или при . Смотрим: .

Последовательность  назовем 

• монотонно возрастающей, если для любого  выполняется неравенство ;
• монотонно убывающей, если для любого  выполняется неравенство ;
• монотонно невозрастающей, если для любого  выполняется неравенство ;
• монотонно неубывающей, если для любого  выполняется неравенство .

Последовательность любого из перечисленных четырех типов называется монотонной.

Для последовательности  введем понятие подпоследовательности. Рассмотрим монотонно возрастающую последовательность натуральных чисел . Для каждой такой последовательности определена подпоследовательность .

Введем понятие предела последовательности.

Число  называется пределом последовательности  (обозначение ), если для любого  найдется такое натуральное число , что при  выполняется неравенство: .

Последовательности могут не иметь предела. 

Последовательность, имеющая предел , называется бесконечно малой последовательностью или просто бесконечно малой.

Пример 3 Последовательность  является бесконечно малой. Действительно, согласно определению, . Следовательно, неравенство  будет выполнено при , где  — означает целую часть числа 

, то есть  — наибольшее целое число не превосходящее .

Последовательность называется бесконечно большой (обозначение ), если для любого  найдется такое натуральное число , что при  выполняется неравенство: .

Для монотонных последовательностей имеем простой критерий существования предела:Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.