Сумма и разность синусов и косинусов: вывод формул, примеры

Вычисление суммы (Σ) и разности синусов или косинусов осуществляется по определенным формулам. Они помогают оставить сложения, вычитания позади, начать решать произведение функций. Такая возможность полезна, к примеру, при нахождении значений различных уравнений из тригонометрии.

Обратите внимание! Тригонометрические функции считаются основой математики и других точных наук. Основные теоремы, законы подходят для решения сложных уравнений. При этом используются стандартные значения из таблиц в случае, если они есть. Такая информация ускоряет решение приведенных математических задач.

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

При решении математических задач часто используются суммы или разности. Формулы:

Для представленных выражений есть соответствующие доказательства. При преобразовании Σ синусов в произведение:

Для варианта преобразования разности синусов в произведение есть аналогичное доказательство. Оно выглядит следующим образом: 

Для доказательства преобразования сложения cos в произведение также рассматривается определенное соотношение. Оно следующее: 

Доказать правильность формулы преобразования разности косинусов в произведение также можно соотношением равенств. Выглядят они следующим образом: 

Приведенные выше уравнения справедливы для обоих указанных углов в выражении. При этом Σ, деленная на два, называют полусуммой или полуразностью:

• Сумма sin α и β приравнивается к произведению sin после удвоения поделенной суммы на 2 на cos разделенной разности на 2.
• При вычислении разности sin двух углов рассчитывается удвоенное их произведение sin на cos разделенной суммы на 2.
• Рассчитать Σ cos двух углов можно по удвоенному произведению cos полусуммы и cos полуразности обоих показателей.
• Для выведения cos неизвестных α и β произведение sin полусуммы после удвоения умножают на cos полуразности, который берется в отрицательном значении.
• Синус (sin). Соотношение ребра противолежащего катета треугольника к соответствующему гипотенузы.
• Косинус (cos). Определяется прилежащей стороне катета к гипотенузе.

Указанные выше закономерности подходят для вычисления любых углов. Они помогают преобразовывать основные тождества и вычислить необходимые показатели, упрощая задачи в математике или физике. 

Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов

Для определения зависимости используются сложения значений углов. Для каждого случая выражение записывается отдельно. Формулы:

Подобная форма существенно упрощает понимание информации. После этого переходят к сложению или вычитанию sin или cos углов.

Данную тему важно понять, так как она считается основой многих разделов алгебры. Она применяется при углубленном изучении физики. Нужно не только знать формулу, но и последовательность действий для ее получения. При техническом характере наук наблюдается связь теорем с практическим применением. Они должны быть закреплены при решении уравнений. В основной программе обучения есть достаточно количество примеров, для решения которых применяются приведенная информация.

Вывод формулы суммы синусов

Для выведения зависимости вместо α и β подставляются выражения, которые были выведены выше. Результатом станет: 

После этого вначале вставляется выведенное сложение, затем разность синуса. В результате получится: 

Для того чтобы вести дальнейшие вычисления следует с учетом правил провести раскрытие скобок. В итоге получается искомая формула: 

Подобные действия повторяются для выведения остальных преобразований.

Вывод формулы разности синусов

Приведенные значения углов для начала заменяются на выражения. При ведении дальнейших вычислений к первой части применяется вычитание, затем сложение. Раскрываются скобки для получения нужного результата.

Вывод формулы суммы косинусов

В случае с косинусами действия практически не отличаются. Вместо значений углов подставляется ранее приведенное выражение, после вначале подставляется часть сложения, во второй разность cos. Скобки раскрываются, учитываются знаки и последовательность выполнения действий. 

Вывод формулы разности косинусов

Разность косинусов высчитывается аналогичным образом. Вместо значений α и β подставляются полусуммы. Дальнейшее вычисление предусматривает раскрытие скобок. 

Примеры

Для углубления в тему следует закрепить информацию при решении конкретных задач. По условию первый угол равен числу «пи», деленному на 2; второй равен числу «пи», деленный на 6. После получения исходных данных можно вычислить значения сложения синусов приведенных углов. 

Решение:

• Потребуется таблица с основными значениями, которые подставляются в уравнения.
• Применяется формула для суммы синусов.

Обратите внимание! Приведенный выше пример основан на значениях, которые можно получить из основной таблицы. Поэтому проблем с вычислениями не возникает. Но распространены и частные случаи, при которых воспользоваться стандартными значениями не получится.

Один из частных случаев, когда первый угол равен 165 градусам, второй 75 градусам. Использовать таблицу в этом случае не получится. Но при подстановке уравнения можно провести обычные математические вычисления. Значения вычисляются следующим образом: 

Нужно определить сумму тригонометрической функции. Для этого даны угловые значения (75, 15), которые подставляются в ранее выведенную формулу:

Задачи рассчитаны на определение значений сложения, вычитания sin или cos. В дальнейшем они используются для определения произведения тригонометрических функций. В сети встречается довольно много задач с применением этих равенств. Это связано с тем, что они подходят для решения тригонометрических уравнений и преобразования тригонометрических выражений.