Дифференциал функции

Пусть нам задана функция  на промежутке , где - произвольное положительное число. Рассмотрим приращение функции  , соответствующее приращению аргумента . 

Определение 1 Функцию  назовем дифференцируемой в точке , если имеет место представление , где есть величина  более высокого порядка малости чем . Это означает, что . Если это представление имеет место, то функция называется дифференцируемой в точке , а величина  называется дифференциалом функции в точке  и обозначается символом  или .

Нетрудно доказать следующую теорему: для того чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная . При этом  . Таким образом, дифференциалом функции в произвольной точке , является выражение  . При этом мы условно полагаем, что  .

Приведем несколько примеров  вычисления дифференциалов. 

Пример 1 Найти дифференциал функции .

Имеем .

Пример 2 Найти дифференциал функции .

Имеем .

Пример 3 Найти дифференциал функции .

Имеем .

Пример 4 Найти дифференциал функции 

Имеем .

Пример 5 Найти дифференциал функции .

 Имеем .