Площадь поверхности пирамиды: понятие, формулы, примеры решения задач

Пирамида, основные понятия и элементы

Определение Пирами́да — многогранник, одна из граней которого, называемая основанием, — произвольный многоугольник, а остальные грани, называемые боковыми гранями, — треугольники с общей вершиной.

Структурные элементы:

• ребро — линии, которые имеют одну общую точку на вершине многогранника;
• грань — фигура, которая образуется из ребер, из стороны, которая находится в нижней грани;
• вершина многогранника — точка, в которой сходятся ребра.

Виды пирамид

В геометрии выделяют следующие виды пирамид:

• Правильная. В нижней грани имеет равностороннюю фигуру, с равными углами. Высота в многограннике опускается из верхушки многогранника к нижней части;
• Тетраэдр — фигура, у которой грани — одинаковые треугольники. Каждая может служить нижней гранью многогранника, можно использовать для проведения расчетов;
• Прямоугольной называется пирамида, ребро которой образует угол 90° с нижней гранью. Это ребро является перпендикуляром, а значит и высотой.

Каждая разновидность предполагает особенности решения заданий по вопросу. 

Формула площади правильной пирамиды

Правильная пирамида — многогранник, у которого в нижней части находится фигура с одинаковыми по длине сторонами, с одинаковыми углами, а боковые грани — равные между собой треугольники с одинаковой длиной ребер, с равными углами. 

Площадь фигуры бывает полной поверхности, боковой. 

Показатель боковой поверхности пирамиды равна сумме боковых граней, полной поверхности — сумме всех граней.

Общая формула

В общем виде показатель полной поверхности рассчитывается по следующей формуле:

где

Sбок. — площадь боковой поверхности пирамиды,
Sосн.— площадь основания пирамиды.

Процесс вычисления показателя по нижней грани зависит от формы. Она может быть в виде треугольника, квадрата, прямоугольника, шестиугольника. 

Теорию необходимо закреплять на практике, предлагаем вместе решить несколько заданий по теме. 

Площадь треугольного варианта

Треугольная пирамида имеет 3 треугольные грани, вершину, треугольное основание. Площадь рассчитывается по формуле:

где

L — апофема треугольной пирамиды,
P — периметр основания треугольной пирамиды,
Sосн — площадь основания треугольной пирамиды.

Связь площади треугольника с площадью его проекции

Площадь боковой поверхности и площадь основания пирамиды связаны через величину двугранного угла при основании.

Площадь четырехугольного варианта

Полную площадь четырехугольной пирамиды находится по формуле:

Площадь шестиугольного варианта

Полная площадь пирамиды шестиугольного варианта находится по формуле:

где

a — сторона основания пирамиды,
L — апофема пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды

Апофема — наклонная высота, которая опускается из вершины пирамиды к одной из сторон нижней грани под углом 90 градусов. Если в задании высота неизвестна, показатель можно найти, вставив данные в формулу:

где

h — высота пирамиды, опущенная под прямым углом в центр нижней части фигуры, 
r — длина радиуса вписанной окружности нижней грани, которая также является расстоянием между геометрическим центром, центром одной из его сторон.

Периметр — сумма сторон нижней грани.

С чего начинать проведение расчетов?

Многие сталкиваются со сложностями в решении геометрических задач. Знание одних формул не помогает. Важно уметь выстраивать в голове очередность действий, чтобы прийти к результату.

При решении задач в геометрии рекомендуем графически изобразить многогранник на бумаге. Наглядно следует отметить имеющиеся в условиях данные. Далее советуем прописать отдельно Дано, чтобы понимать, какой информации для вычислений не хватает, какую необходимо узнать. Важно понимать, какая фигура находится в основании, особенности граней многогранника.

После подбираются формулы, которые помогают прийти к ответу, процесс решения разбивается на пункты. В голове важно выявить правильную стратегию решения и точно двигаться по ней.

Решение задач

Пример №1 Необходимо рассчитать полную площадь пирамиды. О многограннике известны данные: высота — 16 сантиметров, сторона основания в виде треугольника равна 6 сантиметрам.

Первым этапом вспомним, найдем формулу, которая нужна в решении задач:

Sбок.- площадь боковой поверхности пирамиды.
Sосно.- площадь основания пирамиды.

Найдем показатель боковой поверхности. Рассчитаем показатель по следующей формуле:

Подставляем данные в формулу:

Мы находим результат, который равен 144

Переходим к расчету площади основания. Треугольник правильный, значит узнать ее можно по формуле:

где а — сторона треугольника. 

Вставив данные в формулу получаем число: 15,6 см². 

Нашли неизвестные данные в формуле расчета. Подставляем цифры:

Приступаем к решению задания. Формула для вычислений все та же:

Площадь основания известна, остается узнать боковой поверхности. 

Нам неизвестны апофема, периметр квадрата в основании, высота в 3 раза больше длины стороны основания. 

Находим ее длину. Выявить длину можно через показатель площади квадрата равный 25 см². 

Она вычисляется через умножение двух сторон. Квадрат правильный, равносторонний, длину находят внесением показателя 25 см² под квадратный корень. Длина равняется 5 сантиметрам. Тогда l=5*3=15 сантиметров, потому что по условиям параметр в 3 раза больше показателя а.

Остается найти периметр основания:

Неизвестные данные из условий подставляем в формулу:

Ответ: 175 см.