Замена переменной в определенном интеграле

Пусть функция  непрерывна на отрезке , а функция и ее производная  непрерывны на отрезке  . Пусть при этом  и  , тогда 

Что хорошо, в отличие от неопределенного интеграла: не нужно возвращаться назад к исходным переменным  . Приведем несколько примеров:

Пример 1 Применяя соответствующую замену найти определенный интеграл .

Сделаем в интеграле замену: . Тогда  и  . При , будет равно , а при , .

Заменяем переменные и порядок интегрирования:

Пример 2 Применяя соответствующую замену найти определенный интеграл: .

Сделаем в интеграле тригонометрическую замену:

При замене переменной нужно внимательно следить за корректностью замены. Приведем пример.

Пример 3 Найти определенный интеграл .

Если сделать рекомендуемую в таких интегралах замену , то мы получим:

Но если мы поставим пределы формально: и , то получим , чего не может быть, так как подынтегральная функция в изначальном интеграле положительная. Дело в том, что полученная первообразная разрывная в точке  , поэтому мы не вправе применять формулу Ньютона  - Лейбница. Здесь два выхода. Можно склеить в точке две первообразные, получить непрерывную первообразную и применить  формулу Ньютона – Лейбница, но можно поступить проще. Отметим, что функция  , а с ней и подынтегральная функция симметричны относительно прямой  . Поэтому:

То есть здесь мы уже были вправе применить формулу Ньютона – Лейбница, так как первообразная, найденная нами, непрерывна на рассматриваемом промежутке от  до .

Пример 4 Найти определенный интеграл .

Сразу отметим, что  , поэтому сделаем замену:  :

Пример 5 Найти определенный интегра .

Здесь следует сделать замену: . Тогда . Далее: и  . При этом, при  меняющемся от  до  , переменная  будет меняться от  до  . Находим интеграл: