Умножение комплексных чисел

Пусть нам даны два комплексных числа в алгебраической форме:   и  . Определим умножение этих чисел следующим образом:  .

Мы видим, что умножение комплексных чисел идет по обычным правилам умножения двух скобок с учетом равенства  . Хотя умножение определяется достаточно понятно, но геометрически непонятно, что же все - таки происходит, когда мы умножаем одно комплексное число на другое. Чтобы это понять обратимся к тригонометрической форме записи. Пусть

  Умножая эти числа по правилу умножения, сформулированному выше, получим: .

Вспоминаем формулы из тригонометрии:

;

.

В результате получаем

 .

Теперь мы можем сформулировать, что же происходит при умножении комплексных чисел: При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

  Если числа заданы в показательной форме, то умножение происходит так:

  Остается добавить, что если числа заданы в различных формах, то, чтобы их перемножить, необходимо их привести к одной форме записи.

Пример 1 Найти   если , а  . Здесь числа заданы в алгебраической форме. Пользуемся правилом умножения комплексных чисел в алгебраической форме: .

Пример 2 Найти   если  , а  .

Первое число задано в тригонометрической форме, другое – в показательной форме. Приведем первое число к показательной форме: ,

после чего произведем умножение:  .

Похожий результат получится, если мы приведем второе число к тригонометрическому виду: . Теперь умножаем:

  .

Пример 3 Найти  если , а .

Приведем второе число к тригонометрической форме: , а теперь перемножим  числа:

.