Что такое комплексные числа? В свое время возникла потребность ввести комплексные числа. Дело было не только в том, чтобы все многочлены имели корни. Комплексный анализ помогает в различных гидродинамических расчетах и в электричестве. Да и в действительном анализе нахождение некоторых определенных интегралов было бы весьма затруднительно без комплексного анализа.
Комплексные числа это числа вида 
, где 
— действительные, а 
— мнимая единица. Их для наглядности изображают на комплексной плоскости в виде точки или ее радиус вектора:
На оси 
откладываем 
, а по оси 
(там в качестве единичного вектора берется мнимая единица ) откладываем 
.
В некоторых случаях лучше использовать тригонометрическую форму записи комплексных чисел.
Как видно из рисунка, модуль комплексного числа равен: 
,угол наклона вектора к положительной полуоси 
обозначим 
. Тогда
Есть тригонометрическая форма записи комплексного числа 
.
Пример 1 Записать число
в тригонометрической форме. Кстати на рисунке изображено именно это число.
Имеем
;
. В результате получаем тригонометрическую форму записи:
где
.
Пример 2 Найти тригонометрическую форму записи числа
.
Имеем
;
. Таким образом:
.
Комплексные числа удобно перемножать в тригонометрической форме. Легко вывести следующую формулу:
.
Эту формулу можно прочитать так: при перемножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Для комплексного числа в тригонометрической форме имеется очень удобная формула для возведения в степень:
Пример 3 Найти комплексное число
. Воспользуемся результатом примера 2.
