Дробно-линейные отображения

Дробно-линейной функцией называется функция вида: , где  — произвольные комплексные числа, такие, что .

Перечислим без доказательства свойства дробно-линейной функции.

1. Дробно-линейная функция осуществляет взаимно однозначное отображение расширенной комплексной плоскости на себя. При этом точка  отображается в точку , а точка  отображается в .
2. Дробно-линейное отображение можно представить в виде суперпозиции трех простейших отображений: целого линейного , отображения  и сдвига .
3. Дробно-линейное отображение отображает окружности и прямые в окружности и прямые. При этом прямая может перейти как в прямую, так и в окружность. Окружность тоже может перейти как в прямую, так и в окружность. Это свойство называется круговым свойством дробно-линейных отображений.
4. Точки симметричные относительно прямой или окружности переходят в точки симметричные относительно образа этой прямой или окружности.
5. Дробно-линейное отображение, переводящее три заданные точки в три заданные точки: дается формулой: 

Пример 1 Найти образ мнимой оси при отображении .

Мнимая ось представляет собой прямую. По третьему свойству она должна перейти в окружность или в прямую. Найдем образы трех точек мнимой оси: . Так как образ одной из точек , то мнимая ось переходит в прямую проходящую через  и , то есть в действительную ось.

Пример 2 Найти дробно линейное отображение, переводящее точки .

Пример 3 Найти образ области  при отображении 

Найдем образ мнимой оси при данном отображении. Возьмем три точки : .

Отметим также, что . Куда же перешел луч ? Подставим в формулу отображения: . При , точки  переходят в точки луча  действительной оси. Точки  переходят в луч . Образы двух точек действительной оси у нас есть: Действительная ось переходит в окружность, проходящую через точки .

Найдем образ точки   из границы нашей области: 

Итак, образ луча  будет полуокружность .

Теперь мы можем изобразить схему самого отображения:

Пример 4 Найти образы всех квадрантов при отображении .

Чтобы не решать опять задачи подобные примеру 3, воспользуемся следствием принципа симметрии Римана-Шварца в такой формулировке:

Пусть функция  отображает область  в  и  — дуга окружности или отрезок, принадлежащий границе области , и  — область, симметричная  относительно .

Пусть непрерывна на  и области  и  не пересекаются. Тогда функция  конформно отображает на , где  и  — образы  и  соответственно при отображении .

На следующем рисунке видно, что области  и  симметричны относительно луча , который переходит в полуокружность . Так находится образ области . Он для удобства обозначен штриховкой. Точно так же находятся образы остальных двух квадрантов.