Бесконечно малые величины и их свойства

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки. Если предел функции в точке  существует и равен нулю, то функция (величина) называется бесконечно малой при .

Отметим, что функция может быть бесконечно малой при , но не быть бесконечно малой при . 

Пример 1 Функция  является бесконечно малой при , но не является бесконечно малой при  стремящемся к любой другой точке.

Пример 2 Функция  является бесконечно малой при, так как  .

Если непрерывная функция равна нулю при , то она является бесконечно малой при , и наоборот, если непрерывная функция является бесконечно малой при , то .

Бесконечно малые величины можно сравнивать. Пусть две функции и являются бесконечно малыми при  и пусть существует конечный предел: .

Тогда,1). Если , то  является бесконечно малой более высокого порядка чем ; обозначение .

2). Если , то бесконечно малые и являются эквивалентными; обозначение .

3). Во всех остальных случаях и являются бесконечно малыми величинами одного порядка; обозначение .

Пример 3 Функции  и являются эквивалентными бесконечно малыми при  так как .То есть .

Пример 4 Функции  и являются бесконечно малыми величинами одного порядка при , так как ; или .

Пример 5 Функция  является бесконечно малой более высокого порядка чем  при , так как , или .

Из первого и второго замечательных пределов следует такая цепочка эквивалентных бесконечно малых величин:  

Следующая теорема позволяет находить пределы выражений, используя цепочку бесконечно малых величин. 

Теорема. Пусть нам нужно найти предел отношения двух бесконечно малых величин и  при  (такой предел называется неопределенностью вида ). При этом, пусть  и . Тогда .

Пример 6 Найти предел выражения . Используем цепочку бесконечно малых: .

Пример 7 Найти предел выражения: . Используем цепочку бесконечно малых: .