Решение задач с помощью систем

К системам линейных уравнений приводятся некоторые текстовые задачи. Приведем примеры.Все задачи на сплавы приводятся к линейным уравнениям или к системам линейных уравнений.

Задача 1. Имеется два сплава. В первом сплаве  40% меди, во втором - 30% меди. Требуется получить 1 кг сплава в котором  38% меди. Сколько для этого нужно взять первого и второго сплава?

Обозначим искомые количества первого и второго сплавов через  и  соответственно.

Поскольку требуется получить  1 кг сплава, то составляем первое уравнение: Второе уравнение получим, если мы приравняем количество меди в двух искомых кусках, которые нужно взять и в куске веса 1 кг, который должен получиться: Составим систему и решим ее:

Итак, для получения нужного сплава требуется взять 0,8 кг первого сплава и 0,2 кг второго. 

Отметим, что изначально мы могли взять только одно неизвестное , а второе было бы  и решать пришлось бы не систему, а одно линейное уравнение: 

К системам линейных уравнений приводятся задачи про бассейны и наполняющие их трубы (насосы).

Задача 2. Бассейн объемом 10 куб.м. куб. м. заполняется тремя трубами при совместной работе за 10 минут. Первая и вторая труба в сумме имеют ту же производительность, что и третья. Вторая и третья труба заполняют при совместной работе за  минуты. Найти производительность каждой трубы.

Обозначим производительности труб (количество литров в минуту) через , и  соответственно. Тогда, по первому условию задачи составим первое уравнение: 

.Второе условие дает уравнение . Наконец, из третьего условия следует уравнение: . Запишем все три уравнения в систему и решим ее:

Итак производительности труб 300, 200 и 500  литров в минуту  соответственно.

Задача 3. Из двух пунктов, расстояние между которыми 110  км., навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Если бы первый велосипедист выехал на час раньше второго, то их встреча произошла бы через  2 часа после выезда второго велосипедиста. А если бы второй велосипедист выехал на  2 часа раньше первого, то их встреча произошла бы через 1 час и 20 минут после выезда первого велосипедиста. Найти скорости велосипедистов.

Решение. Обозначим скорости велосипедистов через - первого и через  -  второго. Согласно первому условию задачи составляем первое уравнение:  . Второе условие приводит к уравнению: . Раскрывая скобки и освобождаясь от дроби во втором уравнении получим систему:

Мы получили скорости велосипедистов: 20 км/ч – первого и  25 км/ч – второго.

Задача 4. Гвоздь, три винта и два шурупа весят вместе 24 г., а два гвоздя, пять винтов и  четыре шурупа весят вместе 44 г. Сколько весят вместе гвоздь, четыре винта и два шурупа?

Неизвестные у нас ,  и  - это вес гвоздя, винта и шурупа соответственно. Мы можем составить только два уравнения (согласно условиям задачи), которые запишем системой:

Вызывает сомнение, что из двух линейных уравнений мы найдем все три неизвестных. Но если мы отметим , что вес гвоздя и 2-х шурупов в обоих уравнениях можно обозначить через новую неизвестную, то во вновь записанной системе мы будем иметь только две неизвестные:

Нам нужно найти . Находим:.Таким образом, нужный набор весит 28 г.