Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры

Квадратные уравнения, виды.

С чего бы начать изучение темы? Лучше всего это сделать, с помощью изучения главных элементов квадратных равенств. А в первую очередь с определения! 

Определение №1 Квадратное уравнение – это алгебраическое равенство 2-ой степени, в котором обязательно должны быть написаны коэффициенты a, b и c и, конечно, переменная x.

Формула №1 Квадратные уравнения в классическом понимании вещей выглядят следующим образом: aх²+ bx+ c =0. 

Заметка №1 При решении упомянутых равенств ни в коем случае нельзя забывать, что коэффициент «a» никогда не должен равняться 0. 

Пример №1 

2х²+9x+14 =0

Каждый элемент квадратного равенства, само собой, носит свое наименование, которое распределяется По-старшинству. То есть коэффициент «a» называется старшим или первым, потому что он стоит впереди.  Число «b» носит название коэффициент при x или второй, так как стоит после «а», «c» является свободным членом.

Совет №1 Первые два элемента можно запомнить по их расположению, а третий ассоциировать с одиноким числом, так как коэффициент «с» не умножается на х, таким образом он является одиноким, то есть свободным от всех. Например, 

2х² +9x+14 =0: 

Первый коэффициент – цифра 2 

Второй коэффициент – цифра 9

Свободный член – цифра 14

Если «b» или «с» находятся в отрицательном положение, так как на координатной прямой стоят после 0 и имеют знак минус, то запись будет оформляться следующим образом 2х²-9x-14 =0.  Так как плюс на минус – всегда минус, не стоит заморачиваться над написанием лишних символов. Если «a» или «b» равны единице, входить в запись они не будут. Например, х²+x-11=0, в нем коэффициенты и «а» и «b» равны единице и – 1. Чтобы не писать 1х²+1x-11=0, ученные придумали более упрощенную версию записи подобных случаев. 

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения.

Конечно, равенства, разбираемые в этой статье, делятся на разные и многим непонятные виды. Одним из главных видов является  «приведенные  и неприведенные».

Определения видов

Определение №2 Приведенные квадратные уравнения – это различные математические равенства, в которых первейшее число должно равняться числу один. В неприведенных уравнениях такого не происходит, поэтому составляющие приравниваются к натуральным числам.

Пример №2 

 х² – 2х+8= 0 – приведенный пример, так как первейший его коэффициент равен единице, проще говоря 1*х².

9х²+4х+25=0 – неприведенный пример, так как его первейший коэффициент приравнен к девяти, проще говоря 9*х².

Чтобы решить неприведенный вид, нужно поделить весь пример на число, равное коэффициенту «а», чтобы преобразовать запись и решить ее. 

Пример №3 

6х²+18х-7=0.

Для решения этого неприведенного примера, разделим равенство на 6, так как коэффициент уравнения «а» является цифрой 6.  6 х²+18х-7=0|: 6. Тогда мы получим х²+3х-1,66=0

Полные и неполные квадратные уравнения

Еще одним видом являются полные и неполные.

Определения видов равенств

Полное квадратное уравнение – это специальное равенство, при котором каждый коэффициент не равен нулю.

Неполное квадратное уравнение – это то равенство, которому характерна вещь, которая заключает в себе то, что хотя бы один из коэффициентов «b» или «c» равен нулю.

Заметка №2 При решении квадратных уравнений число «а»  никогда не приравнивается к 0, иначе найти корни, то есть ответы, не получится и задачка будет нерешаема.

Пример №4 

6х²+2х-1=0 – вид записи полного равенства.

5х²-3=0 – вид записи неполного равенства. 

Решение неполных квадратных уравнений

Разобрав всю важную информацию, делаем вывод о видах и записываем формулы, которые помогают решать равенства. 

• При ах²=0, следовательно, b=0 и c=0. 
• При ах²+c=0, следовательно, b=0.
• При ах²+bx=0, следовательно, c=0.

Приведем пример того, как решаются подобные алгебраические примеры.

Решение a·х²=0

Если вы разобрались с темой, то решить «aх=0» не составит для вас труда. Для начала нужно преобразовать aх²=0 в х²=0. Это мы можем сделать, поделив первоначальную версию уравнения на число, а, не равное 0.  Из этого делаем вывод, что aх=0 будет иметь вид х=0, а следовательно и ответ будет равняться 0. Других решений это задание иметь не может.

Пример №5

Решение неполного квадратного равенства 12х²=0

12х²=0 |: 12

х²=0

х=0 – корень или ответ.

Решение ах²+c=0 

Неполное квадратное уравнение ах²+c=0 решается точно таким же способом, то есть через преобразование. Равенство нужно привести к подобию ах²=-с, путем переноса «-с» во вторую часть уравнения, то есть за знак равенства, при этом поменяв знак на противоположный. 

Заметка №3 Перенос чисел из первой части уравнения во вторую, и наоборот, всегда происходит с изменением знака на противоположный. То есть, «+» меняется на «-», а «-» меняется на «+».

После первого действия делим обе части равенства на «а», то есть ах²=-с|:а. 

Теперь приходит время сказать об основных определенных критериях:

• Если с/а меньше 0, в итоге результат выйдет такой, что сосчитать ответ у нас не выйдет, ибо его просто не будет.
• А если с/а больше 0, то уравнение будет иметь несколько корней, в распространенном варианте два. Для их вычисления воспользуемся правилом квадратного корня (- c/а) = - c/а, из чего следует – c/а . 

На этом все перейдем к более наглядному решению.

Пример №6

Решение неполного квадратного равенства 8x²+ 5= 0 

8x² + 5= 0

 8x² = -5|: 8

x² = -5/8 – так как во второй части записи число оказалось с минусом, то уравнение не имеет корней.

Решение a·x²+b·x=0

Неполное квадратное уравнение ax²+bx=0 решается по способу разложения задачки на множители. Не все и не всегда понимают, о чем тут идёт речь, поэтому поясним.

Если пример имеет несколько «х», например, x²+19х-25х=0, то все ненужные иксы мы можем перенести за скобку, в которую заключим остальные главные члены. Тогда х(х+19-25) равен нулю. К этому правилу часто прибегают в школах, так как оно очень упрощает мыслительный процесс.

Итак, сперва вынесем за скобку «х», то есть х(ах + b) =0. Равенство приобретет такой вид, так как от «квадрата х» уйдет степень и от множителей «bx» уйдет «х». Дальше воспользуемся правилом разложения на множители. Тогда мы должны приравнять к нулю первую часть уравнения (она не входит в скобки) вторую часть уравнения (она входит в скобке) к нулю. Уравнение примет вид: х=0 и ах+b=0. Первый корень является 0, а для нахождения второго преобразуем выражение -  ах=-b и х=-b/a.

Пример №7 

Решение неполного квадратного равенства 0,5x²+ 0,125x = 0

 0,5 x² + 0,125x = 0

 х(0,5x + 0,125) = 0

 х = 0 – первый корень или ответ.

и 0,5x + 0,125 = 0 

0,5x = 0,125 

х = 0,125/0,5

х = 0,25 – второй корень или ответ

Дискриминант, формула корней  

Многие квадратные уравнения можно решать легким и понятным для всех школьников способом – дискриминантом.

Определение №3 Дискриминант – это математическое понятие или же функция, обозначаемая в изучаемой нами науке заглавной буквой латинского алфавита «D».

Формула №2 

Формула дискриминанта очень проста и легка для запоминания, может быть поэтому многие школьники любят именно этот способ.

D = b ² - 4ac

После нахождения «D», число необходимо вывести из-под корня. Этот процесс происходит по формулам:

х1=-b+√D/2а

х2=-b-√D/2а

• Рассматриваем стандартное квадратное уравнение вида: aх²+ bx+ c =0.
• Делим обе его части на число «a».
• Благодаря вышеуказанному действию, получаем приведенный вид х²+b/a * x+ c/a =0.
• Выделяем полный квадрат в левой  части получившейся записи:  х²+b/a * x+ c/a = х²+2*b/2a * x(b/2a) ² - (b/2a) ² + с/a = (x+b/2a) ² - (b/2a) ² + с/а.
• Тогда уравнение принимает вид (x+b/2a) ² - (b/2a) ² + с/а = 0.
• В правую часть нужно будет перенести два последних коэффициента, изменив при этом знак на противоположный: (x+b/2a) ²=(b/2a) ² - с/а.
• Благодаря приведенному шагу,   преобразовываем выражение, записанное в правой части: (b/2a) ² - с/а =b² /4a²- с/а = b² /4a²- 4ас/4а²= b²-4ас/4а².
• Таким образом, в ответе получаем уравнение: (х+ b/2а) ²= b²-4ас/4а².

Конечный ответ является основной формулой дискриминанта. Чтобы решать квадратные выражения правильно, необходимо соблюдать следующие правила:

• При b-4ас/4а < 0, равенство не будет иметь решений
• При b-4ас/4а = 0, равенство будет иметь решение с одним единственным корнем. То есть уравнение b-4ас/4а превратиться в (x+ b/2а) =0, посчитав получившееся уравнение, в ответ запишем х+(-b/2а) =0.
• При b-4ас/4а > 0, запись будет иметь решение с двумя возможными корнями уравнения.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней