С чего бы начать изучение темы? Лучше всего это сделать, с помощью изучения главных элементов квадратных равенств. А в первую очередь с определения!
Определение №1 Квадратное уравнение – это алгебраическое равенство 2-ой степени, в котором обязательно должны быть написаны коэффициенты a, b и c и, конечно, переменная x.
Формула №1 Квадратные уравнения в классическом понимании вещей выглядят следующим образом: aх²+ bx+ c =0.
Заметка №1 При решении упомянутых равенств ни в коем случае нельзя забывать, что коэффициент «a» никогда не должен равняться 0.
Пример №1
2х²+9x+14 =0
Каждый элемент квадратного равенства, само собой, носит свое наименование, которое распределяется По-старшинству. То есть коэффициент «a» называется старшим или первым, потому что он стоит впереди. Число «b» носит название коэффициент при x или второй, так как стоит после «а», «c» является свободным членом.
Совет №1 Первые два элемента можно запомнить по их расположению, а третий ассоциировать с одиноким числом, так как коэффициент «с» не умножается на х, таким образом он является одиноким, то есть свободным от всех. Например,
2х² +9x+14 =0:
Первый коэффициент – цифра 2
Второй коэффициент – цифра 9
Свободный член – цифра 14
Если «b» или «с» находятся в отрицательном положение, так как на координатной прямой стоят после 0 и имеют знак минус, то запись будет оформляться следующим образом 2х²-9x-14 =0. Так как плюс на минус – всегда минус, не стоит заморачиваться над написанием лишних символов. Если «a» или «b» равны единице, входить в запись они не будут. Например, х²+x-11=0, в нем коэффициенты и «а» и «b» равны единице и – 1. Чтобы не писать 1х²+1x-11=0, ученные придумали более упрощенную версию записи подобных случаев.
Конечно, равенства, разбираемые в этой статье, делятся на разные и многим непонятные виды. Одним из главных видов является «приведенные и неприведенные».
Определения видов
Определение №2 Приведенные квадратные уравнения – это различные математические равенства, в которых первейшее число должно равняться числу один. В неприведенных уравнениях такого не происходит, поэтому составляющие приравниваются к натуральным числам.
Пример №2
х² – 2х+8= 0 – приведенный пример, так как первейший его коэффициент равен единице, проще говоря 1*х².
9х²+4х+25=0 – неприведенный пример, так как его первейший коэффициент приравнен к девяти, проще говоря 9*х2.
Чтобы решить неприведенный вид, нужно поделить весь пример на число, равное коэффициенту «а», чтобы преобразовать запись и решить ее.
Пример №3
6х²+18х-7=0.
Для решения этого неприведенного примера, разделим равенство на 6, так как коэффициент уравнения «а» является цифрой 6. 6 х²+18х-7=0|: 6. Тогда мы получим х²+3х-1,66=0
Еще одним видом являются полные и неполные.
Определения видов равенств
Полное квадратное уравнение – это специальное равенство, при котором каждый коэффициент не равен нулю.
Неполное квадратное уравнение – это то равенство, которому характерна вещь, которая заключает в себе то, что хотя бы один из коэффициентов «b» или «c» равен нулю.
Заметка №2 При решении квадратных уравнений число «а» никогда не приравнивается к 0, иначе найти корни, то есть ответы, не получится и задачка будет нерешаема.
Пример №4
6х²+2х-1=0 – вид записи полного равенства.
5х²-3=0 – вид записи неполного равенства.
Разобрав всю важную информацию, делаем вывод о видах и записываем формулы, которые помогают решать равенства.
Приведем пример того, как решаются подобные алгебраические примеры.
Если вы разобрались с темой, то решить «aх=0» не составит для вас труда. Для начала нужно преобразовать aх²=0 в х²=0. Это мы можем сделать, поделив первоначальную версию уравнения на число, а, не равное 0. Из этого делаем вывод, что aх=0 будет иметь вид х=0, а следовательно и ответ будет равняться 0. Других решений это задание иметь не может.
Пример №5
Решение неполного квадратного равенства 12х²=0
12х²=0 |: 12
х²=0
х=0 – корень или ответ.
Неполное квадратное уравнение ах²+c=0 решается точно таким же способом, то есть через преобразование. Равенство нужно привести к подобию ах²=-с, путем переноса «-с» во вторую часть уравнения, то есть за знак равенства, при этом поменяв знак на противоположный.
Заметка №3 Перенос чисел из первой части уравнения во вторую, и наоборот, всегда происходит с изменением знака на противоположный. То есть, «+» меняется на «-», а «-» меняется на «+».
После первого действия делим обе части равенства на «а», то есть ах²=-с|:а.
Теперь приходит время сказать об основных определенных критериях:
На этом все перейдем к более наглядному решению.
Пример №6
Решение неполного квадратного равенства 8x²+ 5= 0
8x² + 5= 0
8x² = -5|: 8
x² = -5/8 – так как во второй части записи число оказалось с минусом, то уравнение не имеет корней.
Неполное квадратное уравнение ax²+bx=0 решается по способу разложения задачки на множители. Не все и не всегда понимают, о чем тут идёт речь, поэтому поясним.
Если пример имеет несколько «х», например, x²+19х-25х=0, то все ненужные иксы мы можем перенести за скобку, в которую заключим остальные главные члены. Тогда х(х+19-25) равен нулю. К этому правилу часто прибегают в школах, так как оно очень упрощает мыслительный процесс.
Итак, сперва вынесем за скобку «х», то есть х(ах + b) =0. Равенство приобретет такой вид, так как от «квадрата х» уйдет степень и от множителей «bx» уйдет «х». Дальше воспользуемся правилом разложения на множители. Тогда мы должны приравнять к нулю первую часть уравнения (она не входит в скобки) вторую часть уравнения (она входит в скобке) к нулю. Уравнение примет вид: х=0 и ах+b=0. Первый корень является 0, а для нахождения второго преобразуем выражение - ах=-b и х=-b/a.
Пример №7
Решение неполного квадратного равенства 0,5x²+ 0,125x = 0
0,5 x² + 0,125x = 0
х(0,5x + 0,125) = 0
х = 0 – первый корень или ответ.
и 0,5x + 0,125 = 0
0,5x = 0,125
х = 0,125/0,5
х = 0,25 – второй корень или ответ
Многие квадратные уравнения можно решать легким и понятным для всех школьников способом – дискриминантом.
Определение №3 Дискриминант – это математическое понятие или же функция, обозначаемая в изучаемой нами науке заглавной буквой латинского алфавита «D».
Формула №2
Формула дискриминанта очень проста и легка для запоминания, может быть поэтому многие школьники любят именно этот способ.
D = b ² - 4ac
После нахождения «D», число необходимо вывести из-под корня. Этот процесс происходит по формулам:
х1=-b+√D/2а
х2=-b-√D/2а
Заметка №4
- При D меньше нуля – тогда решение не будет иметь корней
- При D равному нулю – получим, что дальнейшее решение будет иметь только один вид х=-b/2а
- При D больше нуля – в ответе будет содержаться два корня.
Применение дискриминанта заметно ускоряет процесс нахождения ответа и позволяет сразу определить значения двух корней. Благодаря этому способу, решать различные квадратные уравнения становится просто и интересно.
Конечный ответ является основной формулой дискриминанта. Чтобы решать квадратные выражения правильно, необходимо соблюдать следующие правила:
Приведем пример решения через данное правило, чтобы читателю было легче разобраться с использованием данного способа.
Пример №8
х²+5х-14=0
Видим, что все коэффициенты, которые нужны нам для применения дискриминанта, есть. Следовательно, решаем уравнение по этому правилу.
D = b² - 4ac
D =5²-4*1*(-14)
D =25+56
D = 81
х1=-b+√D/2а
х1=-5+√81 /2
х1=-5+9 /2
х1=2 – первый корень или ответ.
х2=-b-√D/2а
х2=-5-√81/2
х2=-5-9/2
х2=- 7 – второй корень или ответ.
Определение №4
Решение квадратного уравнения через k – это вид алгебраических равенств, по-другому он называется «Формула корней для четных вторых коэффициентов».
Для нахождения ответа нужно:
- Найти значение D1, которое равно n²-ас.
- Если результат D1 будет меньше нуля, то решение считается некорректным.
- Если результат D1 будет равняться нулю, тогда в итоге мы получим один корень, его можно выявить по формуле –n/а.
- Если корень результат D1 будет равен положительному значению, то в ответе будет два корня. Формула для их нахождения х1 = -n-D1/а и х2 = -n+D1/а.
Пример №9
5х²-6х-32=0
В данном способе будем решать через формулу корней для четных вторых коэффициентов. Для этого в приведённом примере, представим 6 как 2 умноженное на (-3). Тогда:
5х²+2(-3)х-32=0
Теперь утверждаем вывод, что «а» = 5, «n» = -3 и «с» = -32. Зная это, применяем формулу D1:
D1= n²-ас = (-3) ²- 5*(-32)
D1 = 9+160 =169
Нашли корень «D1». Тогда приступаем к нахождению x1 и x2.
х1 = (-n-√D1)/а =( -3-√169)/5 = (-(-3)-13)/5 = 3,2 – первый корень или ответ.
х2 =(-n+√D1)/а = (-3+√169)/5 = (-(-3) + 13)/5 = -2 – второй корень или ответ.
Вторым популярным в народе решением, которое помогает всем школьникам решать квадратные уравнения, именуется «Теорема Виета». Правда скрывать нечего, не все ученики любят данный метод решения равенств и склоняются к формулам дискриминанта. Но тут уже дело вкуса.
Определение №7 Теорема Виета - сумма корней x² + px + q= 0, которая равна второму коэффициенту с противоположным знаком, при этом произведение корней равно свободному члену.
Заметка №5 Если квадратное уравнение решается с помощью теоремы Виета запись оформляется в виде объединения уравнений большой квадратной скобкой.
Если х1 и х2 корни, то решение будет выглядеть так:
{x1 + x2 = -p
{x1 · x2 = q
Пример №10
x2 + 8x + 15 = 0
x2 + 8x + 15 = 0
{x1 + x2 = -8
{x1 · x2 = 15
Методом подбора выявляем, что корни равенства -3 и -5, тогда:
{-3 + -5 = -8 – первый корень или ответ.
{-3 · -5 = 15 – второй корень или ответ.
