Рациональные числа

Число  называется рациональным, если его можно представить в виде   , где   - целое число, а   - натуральное. 

Сами множества натуральных, целых и рациональных чисел будем обозначать так:

                                               .

Легко видеть, что имеет место включение: . Есть еще и действительные числа, которые обозначают , и имеет место включение .

Вообще, следует заметить, что для нужд практики вполне достаточно рациональных чисел. Даже так: мы, при самых точных измерениях и расчетах, используем только конечные десятичные дроби.

Сложение, вычитание, умножение и деление рациональных дробей являются вполне алгоритмичными операциями, известными нам из начальной и средней школы. Мы не будем здесь повторять эти правила, просто приведем несколько примеров.

Пример 1 

Сложить рациональные числа ,, . Ответ записать в виде правильной дроби.

Первые две дроби правильные, а последняя неправильная. 

Дробь называется правильной если она представляется в виде своей целой части и остатка, который меньше .В противном случае – дробь неправильная.

Операции лучше всего производить с неправильными дробями. Если дроби складывать или вычитать, то их нужно привести к общему знаменателю. Здесь пользуемся правилом: дробь не меняется, если ее числитель и знаменатель умножить на дно и то же число. Действуем:

1. Превращаем первые две дроби в правильные:  и .
2. Приводим все три дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное трех знаменателей будет их произведение , так как знаменатели взаимно просты. .
3. Складываем полученные дроби: . Умножение и деление дробей происходит совсем просто.

Пример 2 

Перемножить дроби  и . 

Переводим правильные дроби в неправильные  и  

И перемножаем числители и знаменатели полученных дробей: .       

Пример 3 

Разделить  на.

 Первый шаг мы сделали: перевели дроби в неправильные. Теперь делим первую дробь на вторую:

 

.

 Мы уже говорили, что для практических нужд достаточно рассматривать конечные десятичные дроби. Если нам дано рациональное число, то его можно представить десятичной дробью.

 Утверждение. Любое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. 

Пример 4 

Представить числа    и    в виде десятичной дроби. 

В первом случае делим столбиком и ждем период: .

 Во втором поступим проще:

 Легко доказать следующее утверждение: если в разложении знаменателя несократимой дроби есть только двойки и пятерки, то соответствующая десятичная дробь конечная. В противном случае, десятичная дробь – бесконечная периодическая.

Пример 5 

Можно ли из геометрической прогрессии    выделить геометрическую прогрессию с суммой членов равной    или ?

Предположим, что мы выделили геометрическую прогрессию с первым членом   и со знаменателем . По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии:

  

мы получим 

.

Пусть мы хотим, чтобы эта сумма равнялась . Это приводит к равенству .

 В последнем равенстве справа стоит нечетное число, следовательно, и слева должно стоять нечетное число, а это значит, что , то есть .

 Далее, из равенства  находим .

 Следовательно, искомая прогрессия .

 Если же мы хотим, чтобы сумма членов прогрессии равнялась  , то мы, решая задачу таким же образом, придем к равенству  , которое не имеет натуральных решений.