Формы записи комплексных чисел

Комплексными числами называются числа вида , где  - так называемая мнимая единица. Действительные числа мы изображаем точкой на действительной оси, а комплексные числа мы изображаем точками на комплексной плоскости. Чтобы геометрически изобразить комплексное число, введем декартову систему координат, где по оси  (действительная ось) откладываем (вправо или влево в зависимости от знака) величину . По оси  (мнимая ось) мы откладываем . При этом,  называется действительной частью числа , а  называется мнимой частью числа .  

Комплексное число   можно рассматривать так же как радиус вектор точки с координатами . Такая форма записи называется алгебраической формой записи комплексного числа .

Существуют еще две формы записи комплексных чисел. Предварительно дадим несколько определений.

Введем понятия модуля и аргумента комплексного числа .

Модулем числа   назовем величину , а аргументом  – угол (в радианах) который составляет радиус вектор точки  с положительным направлением действительной оси. Если точка  находится в  - й или  - й четвертях, то можно использовать формулу: . Отметим, что для точки    аргумент определен неоднозначно (с точностью до , где  - произвольное целое число). Другая форма записи комплексных чисел – тригонометрическая. Как следует из чертежа  ,так что  .

Это тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Для действительных значений  имеет место формула Эйлера:

.

Благодаря этой формуле мы можем комплексное число записать в показательной форме:

Все три формы записи комплексных чисел применяются в теории и практике. Так алгебраическая форма больше подходит для сложений и вычитаний комплексных чисел, а показательная и тригонометрическая лучше для деления и умножения, а так же для возведения в степень.

Пример 1  Найти . 

Здесь имеем алгебраическую форму записи числа, которое возводится в степень. Для удобства вычисления переведем число в тригонометрическую форму и воспользуемся формулой для возведения числа заданного в тригонометрической форме в натуральную степень: 

Находим модуль: . .

Теперь  воспользуемся формулой возведения в степень:  

  .

Здесь мы воспользовались периодичностью синуса и косинуса.

Пример 2 

Перевести число  к тригонометрической и показательной форме.

Находим модуль числа: . Поскольку точка  находится во второй четверти, нам не годится формула  , так как арктангенс дает значение угла в промежутке . Из рисунка находим . Отсюда  

,

где .