Метод Жордана Гаусса: история возникновения, основные понятия, этапы и практическое применение.

Метод Жордана Гаусса — история возникновения 

Линейная алгебра — отрасль алгебры объединяющая в себе множество сложных тем. Одна из таких тем – это решение систем линейных уравнений и матриц методами Гаусса и Гаусса-Жордана, алгоритм решения которого не всем студентам удается сразу.

Несмотря на название, теория исключения Гаусса не была полностью разработана немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом. О методе было известно китайским математикам еще в 200 году до нашей эры и было конкретно описано в древнекитайском математическом тексте „«Девять глав математического искусства»”. Однако, Гаусс популяризировал метод на Западе и внёс значительный вклад в современную линейную алгебру. Исключение по Гауссу выполняется путем выполнения элементарных операций над строками матрицы для преобразования ее в верхнюю треугольную форму или форму эшелона строк. Затем решения системы находят с помощью обратной подстановки.

Также, в линейной алгебре существует такое понятие, как метод Гаусса-Жордана, названного в честь того же Карла Фридриха Гаусса и другого немецкого математика и геодезиста — Вильгельма Жордана.

Оба метода работают аналогичным образом. Но, всё же между ними есть различие:

• Исключение по Гауссу преобразует систему в верхнюю треугольную матрицу, чтобы решить ее с помощью обратной подстановки.;
• Метод Гаусса обычно используется в численных методах и алгоритмах факторизации.; 
• Метод Гаусса-Жордана преобразует матрицу в форму уменьшенного эшелона строк, тем самым устраняет необходимость в обратной подстановке.;
• Более простое, чем по Ггауссу, для ручных вычислений, поскольку позволяет избежать обратной подстановки, поэтому, в линейной алгебре данный метод считается модификацией метода Гаусса. 

Понимание этих методов может помочь вам в применении наиболее подходящего метода для ваших конкретных потребностей в решении проблем. Как и в случае с любым инструментом в математике, использование исключения по Гауссу или Гауссу-Жордану эффективно зависит от сложности задачи и контекста, в котором оно применяется.

Основные понятия

Давайте начнем с термина «система линейных уравнений», так как метод предназначен для решения именно таких систем.

• «Система линейных уравнений»— это система уравнений, где все уравнения представляют собой линейную комбинацию неизвестных переменных.„
• «Матрица» — это прямоугольная таблица чисел, функций или алгебраических выражений, которая состоит из m строк и n столбцов, где m — – это количество строк, а n – количество столбцов. Например, матрица на рисунке 1, имеет размер «4 на 3», а не «3 на 4».

Рисунок: Work5

• «Обратная матрица» — матрица, которая даетдаёт единичную матрицу, если умножить еееё на исходную матрицу. Например, обратная матрица, обозначенная как А−1 — это уникальная матрица, которая при умножении на исходную матрицу (A) даетдаёт единичную матрицу (I). Это кажется упрощенным, но глубина этой концепции огромна.

Важно знать, что обратная матрица существует, только если определитель матрицы отличен от нуля. В противном случае матрица называется „«сингулярной»“, что означает, что ее инверсии не существует.

• «Единичная матрица» —  представляет собой специальную квадратную матрицу с единицами на главной диагонали и нулями в других местах. Метод обратной матрицы помогает находить решения для сложных линейных систем.
• «Ступенчатая форма матрицы» — это матрица, у которой все ненулевые строки начинаются с большего количества нулей, чем предыдущая строка. 

Пример. Рисунок: Work5

• «Ранг матрицы» — фундаментальная математическая концепция с широким спектром практических применений. Любая матрица имеет строчный и столбцовый ранг, которые равны между собой. Для определения ранга матриц используются несколько методов. Из них основными считаются — – метод окаймляющих миноров и метод элементарных преобразований.

На примере матрицы В определим ранг матрицы методом элементарного преобразования:

Рисунок: Work5

Решение

• Для начала вычтем из второй строки удвоенную  первую:

Рисунок: Work5

• Потом отнимаем из третьей строки первую, умноженную на четыре:

Рисунок: Work5

Таким образом, мы получаем ступенчатую матрицу, где количество ненулевых строк равняется 2, следовательно, ее ранг равен 2.

• «Определитель» — представляет собой скалярное значение, полученное из квадратной матрицы. По сути, это обобщенная форма всей информации, которую несет квадратная матрица.

Основные этапы, на которых основан метод Гаусса-Жордана

Посмотрите на первую строку конкретной матрицы. Метод Гаусса-Жордана можно запустить, если первое значение не равно 0. Если первое место равно 0, то поменяйте местами строки так, чтобы первый элемент имел ненулевое значение (желательно, чтобы число было ближе к единице). Для примера решим следующую систему уравнения, которая представлена в виде матрицы. 

Рисунок: Work5

Разделите все элементы первой строки на первое число (3). В итоге получится строка, начинающаяся с единицы.

Рисунок: Work5

Из второй строки вычтите первую строку, умноженную на первый элемент второй строки. Но, а первую строку умножьте на 6, и вычтите из третьей строки. В итоге получите:

Рисунок: Work5

Проделайте то же самое для остальных строк. Разделите каждую строку на первый ненулевой элемент, чтобы получить единицу по диагонали.

В результате вы получите  треугольную матрицу с использованием метода Гаусса–Жордана.

Рисунок: Work5

В этой таблице, последний столбец матрицы — результат решения системы уравнений.

Практическое применение метода Жордана-Гаусса

Практически все методы в линейной алгебре имеют свои области применения. Методы Гаусса и Гаусса-Жордана тоже не исключение. Есть ряд преимуществ, которые определяют их применимость в конкретных ситуациях. Умение использовать данный метод позволяет специалистам в области науки и техники решать с легкостью сложные задачи, которые связаны с матрицами или линейными уравнениями. Метод можно использовать во многих других областях, включая:

• физику; 
• экономику;
• инженерных наук;
• программирование. 

Действительно, диапазон применений столь же обширен, сколь и разнообразен, что подчеркивает широкую полезность метода и актуальность для различных областей исследований и отраслей промышленности.

Предположим, вы инженер-строитель, анализирующий уменьшенную версию сложного проекта небоскреба. Структуру здания можно смоделировать как большое количество точек (или узлов), соединенных элементами. Эти точки будут перемещаться в соответствии с системой линейных уравнений, представленной матрицей A.

Чтобы рассчитать, насколько значительно каждый узел будет перемещаться при определенных нагрузках, вам нужно будет решить матричное уравнение Ax = b, где A – матрица системы, x представляет неизвестные перемещения, а b символизирует приложенные силы.

Нахождение значения, обратного A, позволит вам выделить x и точно увидеть, как силы будут действовать на каждый узел (смещение). Это принципиально важно для определения устойчивости и безопасности здания еще до создания прототипа.

Продемонстрировать актуальность метода обратной матрицы можно и в других областях инженерного дела, где он широко применяется:

• Проектирование конструкций: используется для анализа конструкций и прогнозирования их поведения при различных нагрузках.
• Электротехника: имеет решающее значение при изучении схем, обработки сигналов и систем электроснабжения.
• Разработка систем управления: используется для проектирования систем управления с обратной связью.

Эти аналитические и сложные вычисления достигают новых высот с использованием метода обратной матрицы. Инженеры используют этот математический инструмент для решения систем и создания устойчивых структур, которые выдерживают испытание временем.

В сфере электротехники метод возглавляет список удобных математических инструментов для обработки сигналов, анализа систем управления, энергосистем и многого другого. Это действительно важная составляющая инженерного инструментария, независимо от конкретной инженерной области.

Объяснение сущности метода Жордана-Гаусса

Суть метода Жордана-Гаусса заключается в использовании элементарного преобразования матрицы для приведения исходной матрицы к единичной форме. При этом выполняется одновременное преобразование исходной матрицы к единичной матрицы справа от исходной матрицы. Таким образом, получается обратная матрица.  Метод обычно используется для поиска переменных, когда другие методы терпят неудачу. Его суть заключается в использовании треугольной матрицы или блок-схемы для выполнения определенной задачи.

Получение обратной матрицы методом Жордана-Гаусса

Наиболее распространенным способом вычисления обратной матрицы принято считать метод Гаусса-Жордана - алгоритм, который преобразует матрицу в ее форму уменьшенного эшелона строк, что облегчает вычисление ее обратной величины. Ниже приведены шаги по вычислению обратной величины матрицы с использованием этого метода:

Шаг 1: Увеличение.  Начните с увеличения данной матрицы (A) единичной матрицей (I). Это должно сформировать [A | I].

Шаг 2: Примените исключение Гаусса-Жордана. Примените исключение Гаусса-Жордана к этой расширенной матрице. Цель состоит в преобразовании A в I. Строки можно менять местами, целые строки можно масштабировать и кратное строке может быть добавлено к другой строке.

Шаг 3: Получаем результирующую матрицу.  Как только A будет уменьшено до I, I-я часть матрицы автоматически преобразуется в A -1. В терминах формул исключение Гаусса-Жордана представляется следующим образом:

Дано: Исходная расширенная матрица: [A | I] После исключения Гаусса-Жордана: Окончательная дополненная матрица: [A | I−1] Где A-1 обозначает обратную матрицу A.

Например, если у вас есть:

Рисунок: Work5
Тогда дополненная матрица будет иметь вид:

Рисунок: Work5

После применения исключения Гаусса-Жордана результат должен быть:

Рисунок: Work5

Где:

Рисунок: Work5

Хотя метод обратной матрицы универсален и полезен, необходимо учитывать определенные ограничения:

• Его можно применять только к квадратным матрицам, так как неквадратные матрицы не имеют обратных значений.
• Если определитель равен 0, матрица сингулярна и не имеет обратной.
• Поиск обратной матрицы для больших матриц, требует больше времени. Такие расчеты могут привести к значительным ошибкам округления, которые поставят под угрозу точность обратного результата.

Альтернативы для решения этих проблем включают численные методы, такие как:

• методы Гаусса-Зайделя;
• метод вращений Якоби;
• Псевдовселенная Мура-Пенроуза и другие.