Нам известно о тождественности геометрических фигур то, что когда, с помощью наложения, они совпадают, то есть идентичны по размеру и форме, то объекты равны.Сейчас нас интересует схожесть форм. На видимые размеры предметов влияют реальные параметры и расстояние до рассматриваемых объектов. Например: мы можем монетой закрыть Солнце.
Дневное светило и монетка — круглые, но в радиусе монета всего несколько сантиметров, солнце — около 700 тыс.км.
Если изобразить рядом одинаковые по форме предметы, не указав масштаб, мы не поймем, сходны у них размеры или нет. Конфигурация от масштаба не зависит. Не важно, приблизим мы рассматриваемый объект или удалим форма монеты или Солнца не поменяется.
У предметов, одинаковых по образу, много обобщенных свойств. Изучив один — получим показатель для всего класса аналогичных форм.
Перед нами два смайлика. Форма и пропорции у них едины. Размеры разные, но элементы пропорциональны друг другу. Их можно назвать сходными. То есть подобие или сходство — это единство образа при разнице величин.
Фото: Work5
Математическое определение подобия подразумевает присутствие у предметов единой формы вне зависимости от габаритов.
В планиметрии треугольники аналогичны, когда соответствующие углы у них равны, а сходственные стороны пропорциональны.
Фото: Work5
Сходственные стороны идентичных треугольных фигур расположены противоположно равным углам.
1. Отрезок, параллельный любой из сторон треугольной фигуры, отделяет объект аналогичный исходному.
Фото: Work5
MN || AC, ∠ В – един для фигур CBA и MBN, ∠ BMN = ∠ BAC (как соответственные углы при непересекающихся прямых и секущей). Отсюда, треугольники подобны.
2. Проведя пересекающиеся диагонали трапеции, образуем аналогичные угольники их отрезками и основаниями фигуры.
Фото: Work5
Точка F делит АС и BD в пропорции 1:2. Отсюда FD = 2BF, FC = 2AF, то есть коэффициент k = 2. Углы AFD и BFC равнозначны. По итогу, треугольники AFD и DFC подобны.
3. Высота, проведенная из прямого угла, разделяет треугольник на новые – аналогичные данному и друг другу.
Высота BH делит развернутый угол AHC на два прямых: ∠ AHB = ∠ ABC = 90о. Углы BAH и BAC равнозначны. Согласно I признаку подобия — угольники ABH и ABC — подобны.
Фото: Work5
Между точками двух аналогичных фигур определяется очевидное соответствие, где соотношение расстояний между парами заданных положений равняется единому числовому показателю. Этот показатель является коэффициентом подобия. Показывает он на сколько масштаб одной из фигур больше.
Посмотрим внимательно на угольники — их углы попарно равны.
∠ А = ∠ А1, ∠ В = ∠ В1, ∠ С = ∠ С1.
А стороны пропорциональны по отношению друг к другу. Сторона АВ длиннее А1В1 во столько же раз, во сколько ВС длиннее В1С1.
Отсюда:
Полученный параметр является коэффициентом подобия.
Фалес Милетский доказал - не обязательно проверять равенство трех углов сравниваемых треугольных фигур. Допустимо сравнить меньшее количество составляющих.
Существует 3 способа определения аналогичности треугольников, основанных на тождественности углов и соразмерности сторон. Рассмотрим их детально.
Сравнение фигур по равенству идентичных углов.
При условии равенства двух углов первого треугольника соответствующим углам второго, рассматриваемые объекты являются подобными.
Например:
∠ А = ∠ А1, ∠ В = ∠ B1
Сумма всех углов треугольника составляет 180о. Зная величины двух углов, рассчитать величину третьего не сложно – необходимо вычесть сумму значений известных величин.
Из проведенных расчетов получим, что ∠ С = ∠ С1. Следовательно, соответствующие углы заданных треугольных фигур равнозначны, сами треугольники — подобны.
Оценка аналогичности по смежным сторонам и углу, образованному ими.
Когда две стороны одного треугольника соизмеримы аналогичным сторонам другого, а образованные ими углы равнозначны — треугольники являются подобными.
При этом ∠ А = ∠ А1 — каким бы не был коэффициент подобия, стороны ВС и В1С1 закроют треугольники с пропорциональными величинами.
Сравнение схожести по трем сторонам.
Особенность данного условия заключается в использовании параметров сторон — без участия углов.
Треугольники считаются подобными, когда три стороны первого пропорциональны соответствующим сторонам второго.
Данное утверждение построено на основе второго условия, где оговорена пропорциональность сторон. Остается только обосновать равенство углов.
Фото: Work5
Площадь треугольной геометрической фигуры вычисляется путем перемножения величин стороны и высоты, опущенной из противоположного угла.
Фото: Work5
Отношение площадей заданных угольников вычисляем математическим путем:
Вывод: соотношение площадей аналогичных фигур равняется второй степени числа показателя.
Использование особенностей аналогичности и следствий доказательства теорем расширяет преимущества в решении задач. Свойства подобия треугольных фигур можно применить к иным плоским и объемным фигурам.
В практике применяется несколько типов следствий:
Сходные объекты мы часто используем для выполнения специфических задач: вычисление расстояния, высоты, длины, площади объектов.
В строительстве, дизайне, конструировании и иных областях свойства подобия угольников применяем для создания значительных моделей и чертежей.
Применение аналогии треугольников незаменимо в анализе, систематизации геометрических фигур, доказательстве теорем.
Прежде, чем приступить к решению задачи, необходимо удостовериться, что заданные треугольники подобны. Иначе, данный факт, необходимо будет доказать.
Задача:
Точка М лежит на стороне AB треугольника BCA, где
Точка N находится на стороне АС, причем MN || BC.
Найдите BC, если MN = 4/3.
Фото: Work5
Решение:
Так как MN ∥ 𝐴C, то ∠ AMN = ∠ BAC, ∠ BNM = ∠ DCA (как углы при непересекающихся прямых и секущей), тогда фигуры MBN и BCA подобны.
MB = 2 ⋅ AM, то 𝐴B = 3 ⋅ АM,
Отсюда следует,
Так как стороны MB и 𝐴B лежат напротив равных углов (в треугольниках MBN и BCA соответственно), то
откуда
Ответ: Сторона ВС = 2
