Обратные тригонометрические функции

Рассмотрим функцию комплексной переменной : . Как определить к ней обратную? В школе не было определения тригонометрических функций через экспоненту, поэтому просто ввели арккосинус как обратную к косинусу на промежутке , а затем написали бесконечнозначную функцию , как решение уравнения . При этом область определения арккосинуса .

В комплексной области ситуация в некотором смысле проще. Во-первых, косинус может принимать все комплексные значения. Он определяется через экспоненту

.

Обозначим  и, чтобы найти обратную функцию, выразим из последнего равенства :

.
В отличие от теории функций действительной переменной здесь не принято перед корнем писать . Если записан квадратный корень, то подразумевают сразу два значения, кубический-сразу три значения и так далее. Кроме того, и знак дискриминанта не важен. Какое бы ни было число, а корень из него извлекается, сразу два значения.

Далее, вспоминая, что же такое , найдем :

.

Таким образом, мы определили обратную функцию к косинусу:

.

Кстати все простейшие школьные уравнения легко решаются по этой формуле.

Пример 1  Решить уравнение: . Имеем:

.
Аналогично определяются остальные обратные тригонометрические функции.

Определим арксинус, как обратную функцию к . Проводим похожие выкладки: обозначим  и далее
.
.

Мы получили функцию арксинус:

.

Совершенно аналогично получаются арктангенс и арккотангенс:
     ;

    

Приведем несколько примеров:

Пример 2 Решить уравнение: . Имеем

.

Пример 3  Решить уравнение: .
Воспользуемся школьной формулой:

.

Отметим, что все знакомые нам из школы тригонометрические формулы справедливы. Это следует из теоремы единственности аналитической функции. Решаем далее:

 

Отсюда .