Комплексно сопряженные числа

Мы знаем, что комплексные числа – это числа вида , где числа и - действительные, а - мнимая единица. Если действительные числа изображаются точками на прямой, то комплексные числа изображаются точками на плоскости в декартовой системе координат. Первая координата откладывается по действительной оси, а вторая по мнимой. Комплексное число можно трактовать так же как радиус вектор точки с координатами .

Комплексное число  называется сопряженным к числу .

Отметим некоторые свойства комплексного сопряжения.

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

Доказательства этих свойств не должны вызывать сложности. Докажем, например, свойство 2:

Благодаря свойству 5, мы можем числа и называть парой комплексно сопряженных чисел.

Отметим еще одно важное свойство комплексного сопряжения. 

Пусть имеется многочлен - ой степени  с действительными коэффициентами. Пусть  является комплексным корнем многочлена . Тогда так же будет корнем этого многочлена.

Действительно, это важное утверждение следует из свойств комплексного сопряжения.

Применим к равенству операцию комплексного сопряжения. Получим: . Преобразуем левую часть: , то есть также корень многочлена.

Далее, , то есть квадратичный трехчлен с действительными коэффициентами.
Из этого можно сделать интересный вывод: если комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, то этот многочлен разлагается на множители: , причем оба множителя имеют действительные коэффициенты.

Пример Найти многочлен -го порядка, у которого числа и  являются корнями, а коэффициент при старшей степени равен .

К числу  комплексно сопряженное есть . Этой паре комплексно сопряженных корней соответствует квадратный трехчлен 

К корню комплексно сопряженный есть . Этой паре соответствует квадратный трехчлен 

Таким образом, искомый многочлен:

 .