Мы знаем, что комплексные числа – это числа вида 
, где числа 
и 
- действительные, а 
- мнимая единица. Если действительные числа изображаются точками на прямой, то комплексные числа изображаются точками 
на плоскости в декартовой системе координат. Первая координата откладывается по действительной оси, а вторая по мнимой. Комплексное число можно трактовать так же как радиус вектор точки с координатами 
.
Комплексное число 
называется сопряженным к числу 
.
Отметим некоторые свойства комплексного сопряжения.
;
;
;
;
.Доказательства этих свойств не должны вызывать сложности. Докажем, например, свойство 2:
.png){kind=small}
Благодаря свойству 5, мы можем числа 
и .png){kind=small}
называть парой комплексно сопряженных чисел.
Отметим еще одно важное свойство комплексного сопряжения.
Пусть имеется многочлен 
- ой степени .png){kind=small}
с действительными коэффициентами. Пусть 
является комплексным корнем многочлена 
. Тогда 
так же будет корнем этого многочлена.
Действительно, это важное утверждение следует из свойств комплексного сопряжения.
Применим к равенству 
операцию комплексного сопряжения. Получим: 
. Преобразуем левую часть: 
, то есть 
также корень многочлена.
Далее, 
, то есть квадратичный трехчлен с действительными коэффициентами.
Из этого можно сделать интересный вывод: если 
комплексный корень многочлена 
с действительными коэффициентами, то этот многочлен разлагается на множители: 
, причем оба множителя имеют действительные коэффициенты.
Пример Найти многочлен
-го порядка, у которого числа
и
являются корнями, а коэффициент при старшей степени равен
.
К числу 
комплексно сопряженное есть 
. Этой паре комплексно сопряженных корней соответствует квадратный трехчлен 
К корню 
комплексно сопряженный есть 
. Этой паре соответствует квадратный трехчлен 
Таким образом, искомый многочлен:
.
