Тетраэдр: понятие, нахождение объема

Общая информация

Тетраэдр относится к геометрическим телам. Вспомним, что все тела являются замкнутой частью пространства, которые ограничены кривыми либо плоскими поверхностями. В изучаемом случае — это грани. Следовательно, тетраэдр является многогранником. Причем простейшим, поскольку имеет четыре треугольные грани. Отметим, что рассматриваемый четырехгранник – это частный случай пирамиды, естественно треугольной. Таким образом, треугольная пирамида имеет 6 ребер, четыре вершины, четыре грани.

Фото: Сделано автором

Тетраэдр, как любое тело, имеет объем. Последний характеризуется количеством пространства, которое занимает объект. Таким образом, значение объема тетраэдра в геометрии определяется возможностью оценить количество места, которое занимает в пространстве искомый четырехгранник. Оценка осуществляется строго положительными числами.

Формулы расчетов

Для нахождения объема рассматриваемого тела используют несколько формул. Приведем основную или общую. Здесь возникает необходимость дать два определения. Основанием пирамиды является любая из граней, высотой служит перпендикуляр, который опущен из вершины на плоскость этой грани. Тогда:

где Sосн — площадь основания, h — высота.

Таким образом, в геометрическом смысле объем тетраэдра равен третьей части произведения площади его основания на высоту, проведенной к ее плоскости.

Среди произвольных тетраэдров встречаются интересные виды. У равногранного в качестве всех граней выступают равные друг другу треугольники. Еще более частным случаем является правильный тетраэдр. У него все шесть ребер одинаковой длины, так как все грани — равносторонние треугольники. Тогда в случае правильной треугольной пирамиды формула принимает вид:

где a — длина ребра пирамиды.

Свойства объема тетраэдра

Рассмотрим взаимосвязь объема треугольной пирамиды с ее высотой, площадью основания. Это хорошо просматривается в формуле (1). Поясним связь следующим образом. Разные тетраэдры могут иметь одинаковый объем, если у них равные площади оснований, а также высоты, которые проведены к ним.

Объем рассматриваемого четырехгранника можно вычислить по координатам его вершин в пространстве.

Фото: Сделано автором

Используя заданные координаты, найдем координаты векторов 

Далее находим смешанное произведение векторов 

Для вычисления смешанного произведения нужно воспользоваться правилом треугольника:

Отсюда объем нашего многогранника равен:

Примеры вычислений

Для лучшего понимания материала разберем рассмотренные выше способы расчетов на конкретных заданиях. Затронем формулы (1), (2), метод координат.

Задание 1. Рассчитайте объем тетраэдра, если две стороны основания равны 40 см, 27 см, угол между ними составляет 30°, высота — 55 см.

Решение. Найдем площадь основания. Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними:

Отсюда:

Следовательно, по формуле (1) найдем: 

Задание 2. Вычислите объем правильного тетраэдра, если длина его ребра составляет 6√2 см.

Решение. В данном случае воспользуемся формулой (2):

Применим правило треугольника:

Кубических единиц.

Ответ. 

кубических единиц.

Частные типы

Кроме рассмотренных равногранного, правильного тетраэдров встречаются и другие типы. Перечислим некоторые из них с краткими пояснениями:

1. Прямоугольный. У такого многогранника существует вершина с ребрами перпендикулярными друг другу.
2. Ортоцентрический. Высоты, которые проведены от вершин к противолежащим граням, пересекаются в одной точке.
3. Соразмерный. У него бивысоты равны. Приведем необходимые определения. Шесть ребер делятся на три пары. Они носят названия скрещивающихся, если в таких парах ребра не имеют общих вершин. Общие перпендикуляры к скрещивающимся ребрам называют бивысоты. 
4. Каркасный — соответствует любому критерию:

• суммы длин скрещивающихся ребер равны;
• окружности, которые вписаны в грани, попарно касаются;
• есть сфера, которая касается всех ребер, суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны;
• перпендикуляры, восставленные к граням из центров, вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке;
• все четырехугольники, которые получаются на развертке тетраэдра, — описанные.

5. Инцентрический. Если вписать окружности во все грани, то отрезки, которые соединяют центры окружностей с противоположными вершинами, будут пересекаться в одной точке. 

Таким образом, в материале было дано понятие тетраэдра, его составляющих элементов. Было установлено, что он обладает объемом, изучено несколько приемов его вычисления по двум формулам и известным координатам вершин в пространстве. Представленная методология применяется для решения практических задач. Показана связь между высотой, гранями, объемом. Даны краткие описания некоторых частных типов тетраэдров. Были выполнены решения задач с целью закрепления изученного материала.