Понятия ранга и минора матрицы взаимосвязаны, поэтому для начала выясним, что такое минор матрицы.
Определение
Минором k-ого порядка матрицы называется определитель квадратной матрицы порядка k×k, состоящий из элементов матрицы A, находящихся в заранее выбранных k-строках и k-столбцах. При этом с сохранением положения элементов матрицы A.
Опираясь на определение, можно сделать вывод о том, элементы матрицы A являются минорами первого порядка.
Можно привести примеры миноров второго порядка. Для этого нужно выбрать две строки и два столбца, например, первая, вторая строка и третий, четвертый столбец. В этом случае минором второго порядка будет:
Другим минором второго порядка матрицы A является:
Минор третьего порядка получится, если вычеркнуть третий столбец матрицы A:
Чтобы вычислить, сколько существует миноров k-ого порядка для матрицы A порядка p×n, необходимо воспользоваться следующей формулой:
Пример
Ckp x Cnk
Где
Определение
Рангом матрицы является наивысший порядок матрицы, отличный от нуля.
Заметка
Ранг матрицы обозначается следующим образом: Rank (A), Rg (A), Rang (A).
Определение
Ранг системы строк (столбцов) — это максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой системы.
Определение
Метод перебора миноров — это метод, основанный на определении ранга матрицы.
Чтобы вычислить ранг матрицы A порядка p×n по определению, важно соблюдать следующий алгоритм действий:
Определить, есть ли минор первого порядка. То есть проверить матрицу на наличие хотя бы одного элемента, отличного от нуля, чтобы ранг матрицы был равен как минимум единице.
Перебрать миноры второго порядка. Если все миноры этого порядка равны нулю, то Rang (A) = 1.
Если есть хотя бы один отличный от нуля минор второго порядка, то можно переходить к перебору миноров третьего порядка. Ранг матрицы в таком случае будет равен минимум двум.
По методу Гаусса применяются элементарные преобразования, которые не изменяют ранг матрицы:
С помощью метода Гаусса нужно привести матрицу к ступенчатому виду и посчитать количество строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент.
Пример
Дана матрица:
Чтобы облегчить процесс дальнейших расчетов, первую строку поменяем местами со второй:
Подставим вместо элемента a3,1 ноль, а из третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 3/2:
Подставим вместо элемента a4,1 ноль и вычтем из четвертой строки первую, умноженную на 2:
Подставим вместо элемента a3,2 ноль, а из третьей строки вычтем вторую строку, умноженную на -1/4. Этот показатель мы получили, разделив элемент a3,2 = -0,5 на элемент a2,2 = 2:
Подставим вместо элемента a4,1 ноль, а из четвертой строки вычтем вторую строку, умноженную на -1/2:
Подставим вместо элемента a4,3 ноль, а из четвертой строки вычтем третью строку, умноженную на 2:
Получается, что в данной матрице одна строка содержит нулевые элементы, а три строки — ненулевые. Поэтому ранг матрицы равен 3.
Ответ: Rang = 3.
Пример №1
Вычислите ранг матрицы F.
Решение:
Rang (F) ≤ 3, так как матрица имеет размер 3х3.
Среди миноров первого порядка есть один, не равный 0, поэтому Rang (F) ≥ 1.
Для проверки миноров второго порядка, необходимо рассмотреть пересечения первой и второй строки с первым и вторым столбцом. Таким образом, мы получим:
Соответственно, делаем вывод, что среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный 0, поэтому Rang (F) ≥ 2.
Минором третьего порядка является определитель матрицы F, так как он состоит из трех строк и трех столбцов:
Ответ: Rang (F) = 2.
Пример №2
Вычислите ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.
Решение:
Алгоритм:
В первом действии (1) ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на -2, а к третьей строке прибавили первую строку, умноженную на -3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на -1.
Вторым действием (2) удалили третью и четвертую строки, так как последние три строки пропорциональны, а вторую переместили на первое место.
В третьем действии ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на -3.
Ответ: Rang = 2.
.png)
