Среднеквадратичное отклонение

Основные понятия и определения

Среднее арифметическое

🤔 Определение

Выборочное среднее — важная мера в центральной тенденции в статистике. Это количественная характеристика, которая вычисляется путем суммирования всех значений в наборе данных и деления результата на общее количество значений. Применяется во многих областях, в том числе для анализа и интерпретации данных.

Фото: Work5

Фото: Work5

Среднее арифметическое – наиболее распространенная и используемая оценка математического ожидания. Использование переменной обусловлено простотой вычисления и наглядной интерпретацией.

Математическое ожидание

Ожидаемое среднее – характеристика, показывающая среднее значение, к которому стремится случайная величина при многократном повторении эксперимента.

Фото: Work5

• М(X) – дискретная случайная величина Х, численно равная сумме произведения всех ее величин и соответствующих вероятностей; 
• xi – значение случайной величины; 
• p – вероятность появления в опытах показателя xi;
• n – количество допустимых значений величины.

Для пояснения дискретной величины обратимся к терминологии. 

🤔 Определение

Дискретная величина – переменная, которая может иметь конечное или счетное множество возможных значений.

Дисперсия

Особое место в теории вероятности, статистическом выводе, прогнозировании и анализе данных имеет дисперсия, также показывающая погрешность от среднего.Рассчитывается она как разность между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

Фото: fairysoft.ru

Дисперсия характеризует степень варьирования значения случайной величины вокруг его среднего. Чем больше дисперсия, тем более широким является диапазон возможных величин случайной переменной.

🤔 Определение

Генеральная совокупность – совокупность всех возможных значений. Охватывает все явления или объекты.

🤔 Определение

Выборка – часть генеральной совокупности, отобранные величины всего множества для изучения.

Понимание различий между двумя определениями поможет при расчете среднеквадратичного.

Среднеквадратичное отклонение

Вернемся к тому, с чего начиналась наша статья.

🤔 Определение

Среднеквадратичное или стандартное отклонение — мера статистического разброса, характеризующая степень вариабельности значений в выборке или генеральной совокупности.

Рассчитывается как квадратный корень из дисперсии и имеет те же единицы измерения, что и исходные данные. Величина показывает насколько близки или далеки показатели от среднего. Этот показатель оценивает степень неоднородности данных и является незаменимым инструментом в различных областях анализа.

Вычисление среднеквадратичного отклонения

Формула среднеквадратичного отклонения

Стандартная погрешность находится путем нахождения квадратного корня из суммы квадратов каждого значения от среднего, деленной на количество элементов выборки, что численно равно квадратному корню дисперсии. Обозначается греческой буквой ϭ («сигма»).

Расчет среднеквадратичного отклонения генеральной совокупности

Чтобы найти среднеквадратичное отклонение нужно:

• найти дисперсию (разброс чисел вблизи средней величины);
• вычислить средний показатель из каждого числа в наборе данных;
• возвести в квадрат средние из предыдущего пункта;
• найти сумму квадратов значений;
• разделить сумму квадратов на n, тем самым получая дисперсию;
• извлекаем квадратный корень, получая стандартное изменение.

Фото: work5

Расчет среднеквадратичного отклонения выборки

Приведенная выше формула используется для вычисления среднеквадратичного отклонения генеральной совокупности. Если работаете с выборкой, то формула будет иметь вид, где вместо n используется n-1.

Фото: work5

Переменная М – среднее арифметическое (также обозначается как ).Формулы, представленные выше, используются для простого квадратичного отклонения.

Для взвешенного используется формула ниже, где f – вес или частота повторяющихся значений выборки.

Фото: fairysoft.ru

Применение среднеквадратичного отклонения

Люди и предприятия используют стандартное отклонение для корректировки и стандартизации данных. Сильно отличающиеся от среднего данные не учитываются при анализе, что облегчает процесс и делает конечные расчеты наиболее точными. 

На основе методики определения стандартного отклонения проходят экспертизу лекарственные препараты, расчет среднеквадратичного отклонения помогает избавиться от лишних данных и объективизировать информацию путем выявления погрешности.

В социологии вычисление отклонения помогает скорректировать результаты и представить достоверное исследование.

В сфере маркетинга расчет стандартного отклонения доходов от рекламы помогает увидеть изменение доходов в результате ведения рекламной кампании.

Квадратическое отклонение используется для определения величины риска при инвестициях. Риск при вложении в определенный вид акций принимается равным величине стандартного отклонения доходностей.

 Примеры вычислений

Рассмотрим задачу. По данным выборки произведена группировка вкладчиков по размеру вклада.

Фото: work5

Определите:

1. среднее арифметическое;
2. дисперсию;
3. стандартное квадратичное отклонение размера вклада.

Решение:

1) Среднее значение первого интервала вклада (от 100-300) будет равно сумме крайних значений интервала деленное на их количество)

Фото: work5

Второго – 400, третьего – 600 и далее по аналогии.

Результаты занесем в таблицу:

Фото: work5

Вычислим средний размер вклада по формуле выборочного среднего для взвешенной выборки:

Фото: work5

Средний размер вклада будет равен 575 тысяч рублей.

2) Дисперсия – это среднее арифметическое квадратов погрешностей каждого значения признака от средней арифметической.

Дисперсия в интервалах рассчитывается по формуле:

Фото: work5

Порядок расчета дисперсии:

1. Необходимо найти среднюю арифметическую взвешенную и найти вариант отклонения по формуле:

Фото: work5

2. В квадрат возвести полученную разность:

Фото: work5

3. Квадраты отклонений умножить на f (число повторяющихся значений выборки) и найти их сумму:

Фото: work5

4. Общую сумму разделить на сумму частот:

Фото: work5

Проведенные расчеты представим в табличном виде: 

Фото: work5

Фото: work5

3) Рассчитаем стандартное отклонение размера вклада, взяв квадратный корень из дисперсии.

Фото: work5