Представим себе, что мы едем на автомобиле по прямолинейному шоссе, при этом спидометр все время показывает одно и то же - 100 км/ч. Если мы ехали так в течение двух часов, то мы проехали 200км. Такие задачи даются и решаются в начальной школе. Скорость постоянна, и можно пользоваться формулой S=vt. Кроме того, если дан путь пройденный автомобилем, и время за которое он этот путь проехал, то можно найти среднюю скорость автомобиля на этом пути все по той же формуле: S=vt 
v=S/t.
Отметим, что спидометр показывает разные скорости. В начале и в конце движения скорость меньше, большая скорость на прямолинейных участках, где автомобилю ничего не мешает. Что же такое мгновенная скорость? Мы должны узнать скорость в данный момент, то есть на очень маленьком промежутке пути. Здесь используем понятие производной.
Пусть тело движется прямолинейно и пройденный им путь есть функция от времени: S=f(t). Тогда мгновенной скоростью v(t) или просто скоростью в момент времени t назовем производную от пути S(t) по времени t:
Рассмотрим примеры.
Пример 1 Пусть прямолинейное движение точки для положительных значений t происходит по закону
. Определить момент, при котором скорость движения точки равна 0.
Находим скорость точки
. Приравнивая ее нулю, получаем квадратное уравнение:
. Его корни
. Поскольку t по условию положительно, то оставляем положительный корень:
.
Пример 2 Пусть материальная точка движется со скоростью
. Определить момент времени, когда скорость точки будет наибольшей.
Найдем производную скорости точки:
. При
производная отрицательна, при
производная положительна. Поэтому наибольшая скорость точки (точка максимума скорости) будет в момент времени
.
Итак, механический (физический) смысл производной: скорость есть производная от пути по времени.
