Одночлены

Начнем с понятия степени с натуральным показателем.

Пусть мы имеем некоторое число  . Тогда, по определению,   есть  умноженное само на себя  раз:  . При этом, .

Одночленами называют числа, произведения чисел, произведения чисел и натуральных степеней переменных. Примеры одночленов: 

С одночленами лучше иметь дело, если они записаны в стандартном виде, а именно в виде произведения числового множителя и степеней различных переменных. 

Чтобы привести одночлен к стандартному виду, используют свойство коммутативности умножения и свойство умножения и деления степеней:

Если  - произвольное число, то  и . Поначалу второе правило вводится для натуральных показателей . При этом, при   имеем

Пример 1:  Привести одночлен  к стандартному виду.

Делаем медленно, собирая подобные множители:

Дадим еще несколько правил по возведению одночлена в степень:

 и 

Пример 2: Упростить выражение (привести одночлен к стандартному виду):

Сначала возводим в степень сомножители, а затем собираем подобные множители:

 

Дадим еще одно определение. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней входящих в него переменных.

Пример 3: Упростить выражение (привести одночлен к стандартному виду) и определить его степень: 

Возводим в степень сначала сомножители, а затем собираем в произведении одинаковые переменные:

Чтобы определить степень одночлена сложим все степени переменных:  . Итак, у одночлена сорок пятая степень.

Пример 4: Сравнить два числа   и .

Пользуясь свойством степеней приведем оба числа к одинаковому основанию:

 и 

Поскольку, то 

Пример 5: Какой цифрой может оканчиваться квадрат натурального числа?

Натуральное число может оканчиваться на любую цифру от  0 до 9 . Последние цифры квадратов запишем в таблице:

Последняя цифра числа	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Последняя цифра квадрата числа	0	1	4	9	6	5	6	9	4	1

Итак, возможные остатки: 0, 1, 4, 5, 6, 9.