Комплексные числа и многочлены

В действительном анализе мы не рассматриваем комплексных чисел. Если, например, нам дан квадратный трехчлен, то он может иметь два действительных корня, если дискриминант этого трехчлена положительный. Если дискриминант равен нулю, то имеется сдвоенный корень. Если дискриминант отрицательный, то корней нет.

В комплексном анализе имеет место основная теорема алгебры, согласно которой многочлен - й степени  имеет, по крайней мере, один действительный (или комплексный) корень . Поскольку при этом многочлен раскладывается на два множителя , то, применяя основную теорему алгебры к многочлену , получаем корень  многочлена , а значит еще один корень многочлена . Продолжая этот процесс, мы получаем, что многочлен  - й степени имеет ровно корней с учетом их кратности. Корни могут быть как комплексными, так и действительными.

Можно показать, что если все коэффициенты многочлена  действительны, и  его комплексный корень, то  также является его корнем. Действительно, используя свойства комплексного сопряжения: 

Получим: 

С другой стороны, 

Таким образом, мы показали, что  ,то есть   тоже является корнем  многочлена. 

Пример 1 Записать многочлен  - го порядка  с действительными коэффициентами со старшим членом , у которого числа  являются корнями.

По только что доказанному свойству   также являются корнями многочлена, а сам он равен: 

Осталось перемножить эти скобки, чтобы в результате получить искомый многочлен. Сначала перемножим  скобки с комплексно сопряженными корнями: 

Теперь перемножаем полученные многочлены со скобкой  отвечающей последнему корню: 

Пример 2 Найти корни многочлена и разложить его на линейные множители.

Один корень мы угадываем. Это . Разлагаем многочлен на два множителя, один из которых : 

Теперь находим корни получившегося множителя — квадратного трехчлена.

Используем обычную школьную формулу и тот факт, что :

.

Имеем:  

Теперь запишем разложение исходного многочлена на линейные множители: