Сравнение бесконечно малых, таблица бесконечно малых

Сначала дадим определение бесконечно малой величины (функции).

Пусть функция   определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки. Если предел функции в точке  существует и равен нулю, то функция (величина) называется бесконечно малой при . Отметим, что на месте  может быть , а так же  и . В некоторых случаях имеет смысл сравнивать бесконечно малые.

Пусть две функции и являются бесконечно малыми при  и пусть существует конечный предел:

 .

Тогда:

1. Если , то  является бесконечно малой более высокого порядка чем ; обозначение .
2. Если , то бесконечно малые и являются эквивалентными; обозначение .
3. Во всех остальных случаях и  являются бесконечно малыми величинами одного порядка; обозначение .

Пример 1  Бесконечно малая  является бесконечно малой более высокого порядка чем , при  то есть . Действительно,  

Пример 2 Бесконечно малые  и  эквивалентны при : .

Действительно, согласно следствию первого замечательного предела .

Пример 3 Бесконечно малые  и  являются бесконечно малыми одного порядка.

Здесь имеем: . Здесь мы воспользовались следствиями первого замечательного предела и теоремой о пределе произведения.

Следующая теорема позволяет находить пределы выражений, используя таблицу бесконечно малых величин. 

Теорема. Пусть нам нужно найти предел отношения двух бесконечно малых величин  и  при  (такой предел называется неопределенностью вида ). При этом, пусть  и . Тогда .

Первый и второй замечательные пределы и их следствия позволяют составить следующую таблицу бесконечно малых. Сравнение идет со степенями .

функция	Степень	функция	Степень

Пример 4 Найти предел, используя таблицу бесконечно малых: . 

Используя таблицу бесконечно малых, и теорему, находим: .