Для рядов, как и для последовательностей, имеет место критерий Коши. По сути это критерий сходимости Коши последовательности частичных сумм ряда.
Ряд 
сходится тогда и только тогда когда для любого 
существует такое натуральное число 
, что для всех 
и 
таких, что 
выполняется неравенство 
.
На практике часто применяется критерий равносильный этому, но доказывающий расходимость исходного ряда. Назовем его просто критерий расходимости.
Ряд расходится тогда и только тогда, когда существует , такое, что для всех натуральных чисел 
найдутся натуральные числа 
, такие, что 
.
Пример 1 Используя критерий Коши, доказать сходимость ряда
.
Запишем цепочку неравенств:
.
Неравенство будет иметь место, если
, или, решая это показательное неравенство, получим
. Так что в качестве
, где
- означает, целую часть числа, то есть наибольшее целое число не превосходящее
.
Пример 2 Покажем, что бесконечная десятичная дробь
определяет действительное число. Для этого следует показать, что для выписанного нами ряда выполняется критерий Коши. Начинаем как обычно с заключительного неравенства
.
Разрешая последнее неравенство относительно
. То есть зависимость
.
Пример 3 Используя критерий Коши (критерий расходимости) показать расходимость гармонического ряда
.
Возьмем в критерии Коши
и
. Оценим:
Поскольку для любого
, то ряд расходится, поскольку критерий Коши для него не выполняется.
