Многочлен 
, зависящий от 
переменных 
, называется симметрическим, если он не меняется от любой перестановки его переменных.
Примером симметрических многочленов являются элементарные симметрические многочлены:
Пример 1
.
Пример 2
.
Симметрические многочлены вида
называются степенными суммами.
Степенные суммы связаны с элементарными симметрическими многочленами формулами Ньютона:
Эти формулы позволяют последовательно выражать элементарные симметрические многочлены через степенные суммы и наоборот.
Пример 3 При
первая формула такова:
.
Выразим отсюда
через
. Из первой формулы
. Из второй формулы
. Наконец, из третьей формулы
.
Таким образом, мы можем последовательно выразить и остальные
. Точно так же выражаются и элементарные симметрические многочлены через степенные суммы:
Все мы знаем теорему Виета о корнях квадратного трехчлена: если квадратный трехчлен 
имеет корни 
и 
, то 
, а 
.
Теорема Виета имеет место и для многочлена - ой степени. А именно, коэффициенты многочлена - ой степени с точностью до знака совпадают с элементарными симметрическими многочленами относительно корней этого многочлена:
Отметим, что сумма, произведение симметрических многочленов есть опять симметрический многочлен, то есть множество симметрических многочленов замкнуто относительно операций сложения и умножения. Справедлива основная теорема о симметрических многочленах.
Заметка Каждый симметрический многочлен однозначно представим в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.
В заключении рассмотрим следующие примеры:
Пример 4 Разложить многочлен
на множители.
Данный нам многочлен – симметрический относительно своих переменных. Будем считать, что это многочлен третьей степени относительно
, а
- параметры. Заметим, что при
многочлен тождественно равен нулю:
.
Согласно следствию теоремы Безу, исходный многочлен должен без остатка поделиться на
. Разделим исходный многочлен уголком на
Если раскрыть скобки в частном и привести подобные члены:
и искомое разложение будет таким:
.
Пример 5 Разложить многочлен
Воспользуемся обозначениями элементарных симметрических многочленов и степенных сумм.
Тогда наш многочлен будет выглядеть так:
.
В примере 3 мы получили формулу:
. Подставляя ее в полученное выражение найдем:
