Симметрические многочлены

Многочлен ,  зависящий от  переменных , называется симметрическим, если он не меняется от любой перестановки его переменных.

Примером симметрических многочленов являются элементарные симметрические многочлены:  

Пример 1  .

Пример 2 .

Симметрические многочлены вида

  называются степенными суммами.

Степенные суммы связаны с элементарными симметрическими многочленами формулами Ньютона:

Эти формулы позволяют последовательно выражать элементарные симметрические многочлены через степенные суммы и наоборот.

Пример 3 При   первая формула такова:  . 

Выразим отсюда  через  . Из первой формулы  . Из второй формулы . Наконец, из третьей формулы 

 .

Таким образом, мы можем последовательно выразить и остальные . Точно так же выражаются и элементарные симметрические многочлены через степенные суммы:

 

Все мы знаем теорему Виета о корнях квадратного трехчлена: если квадратный трехчлен  имеет корни   и , то , а  .

Теорема Виета имеет место и для многочлена - ой степени. А именно, коэффициенты многочлена - ой степени с точностью до знака совпадают с элементарными симметрическими многочленами относительно корней этого многочлена:

 Отметим, что сумма, произведение симметрических многочленов есть опять симметрический многочлен, то есть множество симметрических многочленов замкнуто относительно операций сложения и умножения. Справедлива основная теорема о симметрических многочленах.

Заметка  Каждый симметрический многочлен однозначно представим в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.

В заключении рассмотрим следующие примеры:

Пример 4 Разложить многочлен   на множители.

Данный нам многочлен – симметрический относительно своих переменных. Будем считать, что это многочлен третьей степени относительно  , а   - параметры. Заметим, что при многочлен тождественно равен нулю:

 .

Согласно следствию теоремы Безу, исходный многочлен должен без остатка поделиться на  . Разделим исходный многочлен уголком на . Запишем его в порядке убывания степеней :

 

 Если раскрыть скобки в частном и привести подобные члены:

 

 и искомое разложение будет таким:

  .

Пример 5 Разложить многочлен  на множители, используя формулы Ньютона. 

Воспользуемся обозначениями элементарных симметрических многочленов и степенных сумм.

Тогда наш многочлен будет выглядеть так:  .

В примере 3 мы получили формулу: . Подставляя ее в полученное выражение найдем: