Гармонический ряд

Гармонический ряд есть ряд вида: .

Этот ряд имеет большое значение в математическом анализе. Во – первых, этот ряд расходится, но расходится крайне медленно. Поскольку ряд положительный, то чтобы доказать его расходимость, нужно показать, что последовательность его частичных сумм не ограничена. А ведь миллионная частичная сумма ряда . С другой стороны, гармонический ряд есть родоначальник обобщенно гармонических рядов, то есть рядов вида . А с этими рядами часто происходит сравнение других рядов. Кроме того сумма этого обобщенно гармонического ряда  называемая дзета – функцией Римана имеет большое значение в теории чисел. Исследуем обобщенно гармонические ряды на сходимость. Для этого покажем, что

1. Гармонический ряд расходится. Чтобы это показать достаточно показать, что последовательность его частичных сумм не ограничена. Рассмотрим частичную сумму . Сгруппируем члены этой суммы следующим образом:   при  Неограниченность частичных сумм установлена. Итак, гармонический ряд расходится.
2. Из расходимости гармонического ряда следует, что все обобщенно гармонические ряды также расходятся. Это следует из оценки  при .
3. Теперь покажем, что при обобщенные гармонические ряды сходятся. Для этого воспользуемся оценкой  . Рассматривая, как выше и группируя таким же образом члены суммы, мы получим:/Здесь нужно получить неравенство в другую сторону: . Тем самым, последовательность   ограничена сверху, а вместе с этой последовательностью и последовательность  ограничена сверху. Следовательно, обобщенный гармонический ряд сходится.

Пример 1 Показать, что ряд  расходится.Сравним этот ряд с гармоническим рядом. Поскольку , а гармонический ряд расходится, то по первой теореме сравнения исходный ряд так же расходится.

Для следующих двух примеров нам понадобится вторая теорема сравнения положительных рядов

Теорема сравнения 2. Пусть для двух положительных рядов  и  существует предел . Тогда, если , то ряды  и  сходятся или расходятся одновременно. Если , то сходимость ряда следует из сходимости ряда , а если , то сходимость ряда  следует из сходимости ряда .

Пример 2 При каких значениях параметра  сходится ряд .

Общий член нашего ряда . По второй теореме сравнения, наш ряд сходится или расходится одновременно с рядом . Зная когда расходится обобщенный гармонический ряд, мы можем сказать: исходный ряд сходится при  и расходится при .

Пример 3 Исследовать ряд  на сходимость. Воспользуемся стандартными разложениями (логарифма и степенным) и найдем главный член у :   Применяя вторую теорему сравнения (сравниваем с рядом ) получаем, что исходный ряд сходится, как и обобщенный гармонический ряд .