Метод подстановки в неопределенном интеграле: Положим .png)
, где .png){kind=small}
— новая переменная, и .png){kind=small}
— непрерывно дифференцируемая функция. Тогда
.png)
.
Функцию .png){kind=small}
следует выбирать так, чтобы правая часть формулы приобрела удобный для интегрирования вид. Некоторые подстановки рекомендуются теорией, например, подстановки в иррациональных выражениях, или тригонометрические подстановки. Мы приведем здесь несколько примеров, в которых будут и стандартные подстановки и подстановки, до которых нужно додуматься.
Пример 1 Найти неопределенный интеграл:
.
Здесь не будем, раскладывать по биному девятую степень. Сделаем линейную подстановку:
.
Пример 2 Найти неопределенный интеграл:
.
Сделаем подстановку:
:
.
Пример 3 Найти неопределенный интеграл:
.
Интеграл от дифференциального бинома
, где
— рациональные числа может быть приведен к интегрированию рациональных функций только в следующих трех случаях:
- Если
— целое, то полагают
, где
— общий знаменатель дробей
и
.
- Если
— целое, тогда полагаем
, где
- Если
— целое, то применяется подстановка
, где
Пример 4 Привести интеграл:
к интегралу от рациональной функции.
Перепишем интеграл в виде бинома:
. Здесь
. В этом случае
— целое. Имеем третий случай. Делаем подстановку:
.
Подставляем в интеграл и преобразуем:
.
Получили интеграл от рациональной функции.
Пример 5 Найти неопределенный интеграл:
.
Сделаем замену
.
Получаем:
.
.png)
.png)
