Извлечение корня из комплексного числа

Пусть комплексное число задано в тригонометрической форме .

Требуется найти корни  - ой степени из этого числа, где  — произвольное натуральное число больше единицы. Это значит, что мы должны найти такие числа , что . Пусть искомые корни представлены тоже в тригонометрической форме: .

Воспользуемся формулой Муавра: . 

Запишем равенство :

.

Комплексные числа равны, если равны их модули, и аргументы различаются на величину кратную . Получаем: . Отсюда . С аргументом получаем следующую картину:  

Мы не будем различать аргументы отличающиеся друг от друга на величину кратную .

Поэтому различные значения аргумента   будут получаться при следующих значениях :

. Таким образом, мы получили следующую формулу корней - ой степени из комплексного числа :

 .

Пример 1 Найти все корни 4-й степени из .

Представим данное число в тригонометрическом виде: . Применяем формулу корней  - ой степени из комплексного числа, где  :

. 

Перечислим эти корни, нумеруя их, согласно значениям :

  

 

 

Пример 2 Найти корни третьей степени из числа .

Представим число в тригонометрической форме:  . Теперь применяем формулу корней - ой степени из комплексного числа, где :  

Перечислим эти корни:

 

 Приведем еще пример, показывающий как находить комплексные корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами. Это тот случай, когда в школе говорили: дискриминант отрицательный. Корней нет.

Пример 3 Найти корни уравнения .Применим школьную формулу: для уравнения . Здесь мы не исследуем отдельно дискриминант, а сразу записываем корни, вычисляя по ходу дискриминант и ставя вместо  комплексное :