Модуль и аргумент комплексного числа

Комплексными числами называются числа вида   , где  и  - действительные числа, а   -мнимая единица. Такая форма записи комплексных чисел называется алгебраической. На комплексной плоскости число  можно изобразить точкой или радиус вектором этой точки.

На рисунке изображено комплексное число  , где , а . Другими словами, на декартовой системе координат строится радиус вектор точки  . Длина этого вектора называется модулем комплексного числа, а угол, который составляет этот вектор с положительным направлением оси , называется аргументом    комплексного числа . Как мы знаем из тригонометрии угол в полярной системе координат определен с точность до , где - произвольное целое число. Поэтому определяют главное значение аргумента, которое находится в промежутке  .

Для аргумента комплексного числа можно использовать формулу   , но учитывать, что сам арктангенс дает значения лишь в промежутке , а главное значение аргумента находится в промежутке  .Мы советуем обращаться к рисунку.

Пример №1 Найти модуль и аргумент числа  и представить число в тригонометрической и показательной формах.

Находим модуль: . Для нахождения аргумента воспользуемся рисунком:

Если пользоваться формулой   , то получаем значение,

  , поэтому прибавляем  и берем  , то есть то что нужно.

 

Кроме алгебраической формы записи комплексного числа имеются тригонометрическая и показательная формы записи. Модуль и аргумент числа  нужны для остальных двух форм записи комплексных чисел. В тригонометрической форме записи число  выглядит так:

,

а в показательной форме:

При переходе от показательной форме к тригонометрической используется формула Эйлера:

.

Зачем нужны три формы записи? Дело в том, что некоторые действия удобно производить с конкретно одной формой. Например, сложение удобно проводить с числами в алгебраической форме и неудобно с числами в двух других формах. Умножение и деление очень хорошо получается с числами в показательной и тригонометрической формах. Но одно важно: чтобы произвести арифметическое действие с комплексными числами нужно перевести их в одну форму. Приведем несколько примеров.

Пример 2 Найти модуль и аргумент комплексного числа , и записать его в тригонометрической и показательной формах.

1. Находим модуль числа:. Аргумент этого числа равен: . Теперь можем записать число  во всех трех формах: алгебраической, тригонометрической и показательной:

, где  .