Кубом называется многоугольник, имеющий правильную форму. Это многогранник, при составлении которого используются правильные многогранники (квадраты). В школьном курсе геометрии ученики учатся работать с кубами и осуществлять вычисление площади многоугольника на основании формулы.
Площадью (S) многоугольника называется сумма S каждой из граней. То есть, чтобы получить определенное значение S того или иного многогранника в геометрии, производится сложение имеющихся S граней. Например, у куба их 6 – 4 боковые, верхняя и нижняя, и все они должны быть рассчитаны и сложны для получения итогового ответа, исходя из определения.
Преимущество многоугольника - площадь любой из них в ней оказывается одинаковой, из-за чего достаточно будет вычислить одну из них и умножить на 6 для результата.
Получается, что для S вариант выглядит так:
Главное – понять, как провести расчет одной из граней, после этого можно будет умножить полученное число на 6 для получения ответа на задачу.
Если в условиях имеется информация о том, чему равняется ребро геометрической фигуры – вычислить S не тяжело. Потребуется просто возвести ее о вторую степень.
Дополнительная информация! По определению, чтобы найти S прямоугольника (а квадрат – это правильный прямоугольник), требуется умножить одну на другую. А в случае с правильным многогранником допускается возведение числа во вторую степень, так как они будут равными между собой.
Пример
Найти площадь поверхности куба, если длина его ребра равна 12 (см.).
Решение
a = 12
S = 6 ⋅ a2 = 6 ⋅ 122 = 6 ⋅ 144 = 864 (см. кв.)
Ответ: 864 см. кв.
Если в условиях задания прописаны только размеры диагонали – потребуется произвести вычисление ребра, и только после этого переходить к S. В геометрии есть несколько вариаций, которые связывают диагональ и ребро многоугольника:
Получается, что ребро можно будет вычислить при использовании следующей вариации:
Можно будет предварительно подставить рассчитать ребро, после этого воспользоваться формулой, которая была описана, а можно будет просто вывести новую, на основании которой можно будет не переходить к ребру, а производить расчеты на основании информации о диагонали:
Пример
Одна четвертая часть диагонали куба равна 2 (см.). Найти площадь поверхности куба.
Решение
1/4 ⋅ d = 2
Найдем диагональ:
d = 4 ⋅ 2 = 8
d=4⋅2=8
Площадь:
S = 2 ⋅ d2 = 2 ⋅ 82 = 2 ⋅ 64 = 128 (см. кв.)
Ответ: 128 см. кв.
Рассматривая теорему Пифагора, можно заметить, что диагональ имеет непосредственное отношение к его стороне:
.jpg)
Отсюда вывод, что сторону многоугольника можно вычислить следующим образом:
Если использование преобразованных вариаций вызывает смятение и некоторые затруднения – можно вычислить сторону, после этого пользоваться самой простой формулой. Однако если допускается использование уже выведенных вариаций (без самостоятельного выведения и обоснования действия), намного проще будет воспользоваться следующим вариантом проведения вычислений:
Пример
Одна четвертая часть диагонали квадрата равна 1 (см). Найти площадь поверхности куба, образованного данным четырехугольником.
Решение 1/4 ⋅ l = 1
Найдем диагональ квадрата:
l = 4 ⋅ 1 = 4
Тогда площадь:
S = 3 ⋅ l2 = 3 ⋅ 42 = 48 (см. кв.)
Ответ: 48 см. кв.
Еще один вариант поведения расчетов – использование шара, вписанного в него, при условии, что S вписанной фигуры указана в условиях задания. При решении такой задачи стоит учесть, что радиус шара равняется половине стороны:
При этом для расчета данных шара часто применяется следующий вариант:
Следующим шагом ученик высчитывает сторону:
И после этого находит информацию о многограннике посредством предобразования первоначальной вариацией или посредством последовательного проведения действий:
Пример
В куб вписан шар, площадь которого равна 64 “пи”. Найти полную площадь поверхности куба.
Решение:
S шар = 64п
S шар=64π
По формуле:
S = 6 ⋅ S шар / п = 6 ⋅ 64 ⋅ п / п= 384
Ответ: 384 см. кв.
