Разложение правильной дроби на простые

Рациональная дробь  называется правильной, если степень многочлена числителя  меньше степени многочлена знаменателя, то есть если . Например, дробь является правильной, а дроби и  — неправильные. Интегрирование рациональных дробей довольно громоздкий процесс и состоит из трех этапов. На первом этапе следует превратить неправильную дробь в сумму целой части и правильной дроби. Например, .

На втором этапе, следует разложить остаток — правильную дробь на простые дроби. Как известно, к простым дробям относятся дроби следующих четырех типов.

1.  2.  3.  4. .

Для третьего и четвертого типов предполагаем, что дискриминант квадратного трехчлена отрицательный: .

В нашем примере дробь  простая и не требует разложения. Наконец на третьем этапе происходит непосредственно интегрирование целой части и правильных дробей полученного разложения. Разложение правильной дроби на простые дроби опирается на следующую теорему алгебры.

Теорема

Пусть для правильной дроби  известно разложение знаменателя на множители:  . Тогда дробь  однозначно представляется в виде сумма простых дробей, причем каждому множителю знаменателя соответствует сумма дробей вида:

 ,

а множителю соответствует сумма дробей  .

Пример 1 Пусть имеется правильная дробь: . Разложение знаменателя на множители: . Следовательно, согласно теореме, дробь однозначно раскладывается в виде суммы простых дробей: .

Неизвестные коэффициенты простых дробей находятся из системы алгебраических уравнений. Эти уравнения получаются, если мы приведем правильные дроби к общему знаменателю, а затем, приравняем соответствующие коэффициенты числителей слева и справа. Этот метод называется методом неизвестных коэффициентов и применяется не только при интегрировании рациональных дробей. Доведем наш пример до конца, найдя неизвестные коэффициенты.

 .

Собирая подобные члены, мы получаем в числителе правой дроби следующий многочлен:

.

Приравниваем коэффициенты этого многочлена и многочлена . Получим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов :

Таким образом, разложение исходной дроби на правильные дроби таково: . Не всегда нам удается легко найти разложение знаменателя.

Пример 2 Пусть имеется правильная дробь: . Требуется разложить ее на простые дроби.Для разложения знаменателя на множители применим прием Ковалевской.

Таким образом: 

Составим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов: 

Таким образом, искомое разложение такое:

В заключении покажем, как можно упростить нахождение коэффициентов, а именно не выписывая систему.

Пример 3 Пусть мы рассматриваем пример 1 и получили равенство двух многочленов числителей:

Не будем выписывать систему для определения неизвестных коэффициентов  . Поскольку многочлены должны тождественно совпадать, то они должны совпадать при всех значениях переменных. Полагаем  ; 

Два слагаемых правой части обратились в  остался член содержащий только   при первой подстановке и только  при второй подстановке.

Два коэффициента найдены. Приравниваем коэффициенты при , не забывая подставить найденные коэффициенты   и :

. Приравниваем свободные члены: .