Формулы сокращенного умножения

Под формулами сокращенного умножения мы понимаем следующие формулы:

; формула разности квадратов.

; формула квадрата суммы.

; формула квадрата разности.

; формула разности кубов.

; формула суммы кубов.

; формула куба суммы.

. формула куба разности.

К этим формулам можно добавить еще такие формулы:

Все эти формулы помогают при преобразовании многочленов и рациональных дробей.

Пример 1 Разложить на множители, пользуясь формулами сокращенного умножения: .

Воспользуемся формулой разности квадратов:

 

Пример 2 Разложить на множители .

Сначала воспользуемся формулой квадрата разности, а затем формулой разности квадратов:

Пример 3 Разложить на множители .

Воспользуемся следующим приемом: прибавим и отнимем от выражения :

.

Пример 4 Разложить на множители, используя формулы сокращенного умножения: .

Используем формулу суммы кубов: 

.

Пример 5 Упростить выражение: .

Прежде чем преобразовывать сделаем замену . Тогда дальнейшие действия станут более понятными. В результате этой замены мы придем к выражению: 

Остается вернуться к исходным переменным: 

.

Пример 6 Сократить дробь: .

Заметим, что в числителе стоит сумма кубов слагаемых знаменателя. Воспользуемся формулой суммы кубов:

.

Пример 7 Найти значение выражения: .

Рассмотрим первый корень. Попробуем подобрать выражение вида , чтобы .

Пользуясь формулой куба суммы, получаем: 

Поскольку мы хотим, чтобы и были целые, то получаем систему:

Подбором находим . Таким образом, . Из этой формулы следует, что , или . Таким образом, 

.