Под формулами сокращенного умножения мы понимаем следующие формулы:
; формула разности квадратов.
; формула квадрата суммы.
; формула квадрата разности.
; формула разности кубов.
; формула суммы кубов.
; формула куба суммы.
. формула куба разности.
К этим формулам можно добавить еще такие формулы:
.png){kind=small}
Все эти формулы помогают при преобразовании многочленов и рациональных дробей.
Пример 1 Разложить на множители, пользуясь формулами сокращенного умножения:
.
Воспользуемся формулой разности квадратов:
Пример 2 Разложить на множители
.
Сначала воспользуемся формулой квадрата разности, а затем формулой разности квадратов:
Пример 3 Разложить на множители
.
Воспользуемся следующим приемом: прибавим и отнимем от выражения
:
.
Пример 4 Разложить на множители, используя формулы сокращенного умножения:
.
Используем формулу суммы кубов:
.
Пример 5 Упростить выражение:
.
Прежде чем преобразовывать сделаем замену
. Тогда дальнейшие действия станут более понятными. В результате этой замены мы придем к выражению:
Остается вернуться к исходным переменным:
.
Пример 6 Сократить дробь:
.
Заметим, что в числителе стоит сумма кубов слагаемых знаменателя. Воспользуемся формулой суммы кубов:
.
Пример 7 Найти значение выражения:
.
Рассмотрим первый корень. Попробуем подобрать выражение вида
, чтобы
.
Пользуясь формулой куба суммы, получаем:
Поскольку мы хотим, чтобы
и
были целые, то получаем систему:
Подбором находим
. Таким образом,
. Из этой формулы следует, что
, или
. Таким образом,
.
.png)
.png){kind=small}
