Разложение многочлена на множители

Определение Функция вида  называется многочленом  -ой степени или просто многочленом. 

Числа  называются коэффициентами многочлена.

Возникает задача, как разложить многочлен на множители, те представить многочлен в виде произведения многочленов ненулевой степени. Эта задача тесно связана с задачей нахождения корней уравнения:.

Как известно, корнем многочлена  называется любое число  (действительное или комплексное), такое что  равен 0. Имеет место следующая теорема.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена  на  равен .

То есть, .

Как следствие отсюда получаем следующий результат: если  есть корень многочлена , то многочлен разлагается на множители:  .

Пример 1 Разложить многочлен  на два множителя, зная что  есть корень многочлена.

Согласно следствию теоремы Безу, один из множителей будет многочлен . Вторым множителем будет многочлен третьей степени. Его можно найти делением столбиком исходного многочлена на , можно применить схему Горнера. Однако схема Горнера годится только при делении многочлена на многочлен первой степени , а деление столбиком записывается громоздко.

Проиллюстрируем способ, называемый методом неопределенных коэффициентов, который годится для деления любых многочленов. Из представления 

можно сказать, что искомый многочлен начинается с члена , а последний его член 

Запишем последнее равенство, используя неопределенные пока коэффициенты:

Неизвестные коэффициенты определим, приравняв коэффициенты у многочленов слева и справа при третьих степенях и при первых степенях: .

Отсюда . Искомое разложение будет иметь вид: .

На всякий случай проверим коэффициенты слева и справа при : . Как мы видим, разложить на множители многочлен возможно, если мы знаем его корни. Наличие корней гарантируется основной теоремой алгебры, из которой следует, что любой многочлен  - ой степени имеет ровно  корней с учетом их кратности. При этом имеем ввиду что корни многочлена и его коэффициенты могут быть комплексные. То есть, если   - произвольный многочлен, а  - его корни с кратностями  соответственно, то имеет место представление:, причем .

Если мы не используем комплексные числа, ограничиваясь только действительными коэффициентами и корнями, то в разложении могут встречаться и квадратичные трехчлены с действительными коэффициентами.

Пример 2 

При этом квадратичные трехчлены имеют комплексные корни и далее над полем действительных чисел не раскладываются.

Пример 3 Иногда разложение можно получить методом группировки членов. Разложим на множители многочлен . Сгруппируем члены:  

.

Как мы видим, далее квадратные многочлены на множители не раскладываются, так как имеют отрицательные дискриминанты. Отметим, что по школьной формуле для квадратного трехчлена можно находить и комплексные корни. 

Пример 4 Найти корни квадратного трехчлена  . Находим дискриминант: . Следовательно, . Корни трехчлена . Можно записать и разложение многочлена на множители:.