Уравнения, не разрешенные относительно производной

Уравнение вида называется уравнением, не разрешенным относительно производной. Здесь возможны несколько ситуаций.

1. Пусть функция представляет из себя многочлен -ой степени относительно производной, то есть уравнение имеет следующий вид:

,

где - известные функции. Тогда решаем уравнение относительно , получим уравнений:

.

Пусть уравнения имеют общие интегралы , тогда общий интеграл исходного уравнения будет такой:

.

Пример 1 Решить уравнение .

Попробуем разрешить это уравнение относительно производной, решая его как обычное квадратное уравнение: найдем его корни. Сначала дискриминант

. Таким образом, корни квадратного уравнения и . Само квадратное уравнение раскладывается на два линейных уравнения 

и .

Их общие решения и . Запишем эти решения в виде общих интегралов: и . Тогда общий интеграл исходного уравнения такой: 

.

2. Отметим еще один частный случай уравнений, не разрешенных относительно производной. Пусть такое уравнение имеет вид: . Тогда общий интеграл этого уравнения есть .

Пример 2 Найти общий интеграл уравнения .

Пусть корни уравнения . Тогда и , откуда . Поскольку корни полученного уравнения, то должно выполняться 

Это и является общим интегралом данного уравнения.

3. Неполные уравнения и  можно проинтегрировать, если разрешить относительно и соответственно. В этом случае, вводим параметр .

Пример 3 Решить уравнение .

Уравнение является разрешенным относительно поэтому вводим параметр . Возьмем дифференциалы от обеих частей уравнения и учтем, что . Тогда

.

Интегрируя по частям последнее равенство получим . Можем записать общий интеграл в параметрическом виде:

 .