Непрерывность функции

Пусть функция  задана в некоторой окрестности точки , то есть для всех , где  некоторое число. Тогда функция   называется непрерывной в точке  , если предел функции в этой точке существует и равен .

Точки в которых функция не является непрерывной называются точками разрыва.

Характеристика точек разрыва следующая. Если предел функции в точке   существует, но по какой то причине не равен значению функции в точке   (например, в точке   функция не определена), то   называется точкой устранимого разрыва. 

Если предел функции в точке   слева, не равен пределу функции в точке   справа, то точка называется точкой разрыва -го рода.

Все остальные точки разрыва являются точками разрыва  -го рода.

Имеет место фундаментальная теорема:

Теорема. Элементарные функции непрерывны на области своего определения.

Что называется элементарной функцией? Элементарной функцией называется любая функция полученная конечным числом операций умножения, сложения, деления возведения в степень и суперпозиции из простейших элементарных функций.

Простейшими элементарными функциями являются степенные функции, тригонометрические , показательные  и обратные к тригонометрическим и показательным функциям . 

Приведем несколько примеров.

Пример1 Исследовать функцию на непрерывность .

Функция определена для всех . По теореме об элементарных функциях эта функция непрерывна на всей области определения, то есть для всех  не равных нулю. В точке  функция не определена и уже поэтому разрывная. Чтобы определить характер разрыва , найдем предел функции при .

.

Предел существует, но в точке  функция не определена. Имеем устранимый разрыв.

Пример 2 Исследовать функцию на непрерывность  

Эта функция также определена для всех  , поэтому, как элементарная функция она для всех   непрерывна. Чтобы определить характер разрыва в точке   найдем односторонние пределы в этой точке:     Так как один из пределов (предел слева) бесконечный, то имеем разрыв второго рода. 

 Пример 3  Исследовать функцию на непрерывность . Здесь функция определена на всей числовой оси, но задана различными элементарными функциями на промежутках  и . Поэтому наша функция будет непрерывна внутри этих промежутков, то есть для  и  . И точке    требуется дополнительное исследование. Находим односторонние пределы при   :  . Пределы слева и справа существуют, конечны, но не равны. Имеем разрыв первого рода.

Пример 4 Исследовать функцию на непрерывность . Здесь область определения функции . Для всех точек области определения функция непрерывна, как элементарная функция. Однако односторонние пределы в точке  не существуют. Следовательно точка  — является точкой разрыва второго рода.

Пример 5 Исследовать функцию  на непрерывность. Это так называемая функция Дирихле. В любой окрестности произвольной точки функция принимает значения  и  . Следовательно, односторонние пределы не существуют. Таким образом, все точки ее области определения (а она определена для всех действительных чисел) являются точками разрыва второго рода.