Определение
Обратная матрица — это матрица, которая обратна исходной матрице в том смысле, что их произведение равно единичной матрице.
Иными словами, для квадратной матрицы А обратная матрица, обозначаемая как А-1, определяется таким образом, что AxA-1= A-1xA=I, где I — единичная матрица. Обратная матрица существует только для квадратных матриц. При этом она не обязательно существует для всех квадратных матриц. Определение Квадратная матрица — это матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов. То есть, если матрица имеет размерность n×n , то она является квадратной. Например, матрица размерности 3 x 3 или 4 x 4 — это квадратные матрицы.
Матрица также должна быть невырожденной, что означает, что ее определитель не равен нулю. Если матрица вырожденная (её определитель равен нулю), то обратной матрицы не существует.
Формула для вычисления обратной матрицы
Формула для вычисления обратной матрицы А-1 для квадратной матрицы А размерности n×n выглядит следующим образом: A-1=1/det(A) x adj(A) Где: det(A) — определитель матрицы А; adj(A) — матрица алгебраических дополнений (транспонированная матрица миноров) матрицы А. Давайте рассмотрим простой пример нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы размерности 2 x 2. Пусть у нас есть матрица: Шаги для нахождения обратной матрицы: 1. Вычисляем определитель матрицы А: det(A) = 2 x 3 - 1 x 1 = 6 - 1 =5 2. Вычисляем матрицу алгебраических дополнений adj(A): 3. Для каждого элемента матрицы А алгебраическое дополнение это минор, умноженный на (-1) в степени суммы индексов строки и столбца этого элемента. В случае матрицы 2 x 2 алгебраические дополнения вычисляются просто. 4. Находим обратную матрицу А-1 по формуле: 5. Таким образом, обратная матрица для матрицы А равна:
Совет Чтобы удостовериться, что вы нашли обратную матрицу правильно, выполните проверку, умножив исходную матрицу на предполагаемую обратную. Если результат этого умножения дает единичную матрицу, то ваша обратная матрица найдена правильно.Пример решения обратной матрицы
